關係數據庫之關係代數

關係數據庫的關係代數運算符有8種，分爲兩大類，如下表所示：

分類	運算符	含義
傳統關係運算符	$∪$	並
	$−$	差
	$∩$	交
	$×$	笛卡爾積
專用關係運算符	σ	選擇
	∏	投影
	⋈	連接
	÷	除

1 傳統的關係運算

傳統的集合運算是二元運算，包括並、差、交、笛卡爾積4種運算。設有兩關係R、S。

1.1 並 union

關係R與關係S的並記作：$R\cup S=\{t\ |\ t\in R \lor t\in S\}$即合併R和S所有元組

1.2 交 intersection

關係R與關係S的交記作：$R\cap S=\{t\ |\ t\in R \land t\in S\}$關係的交也可用差來表示：$R\cap S=R-(R-S)$即取出R與S中共有的元組

1.3 差 except

關係R與關係S的差記作：$R- S=\{t\ |\ t\in R \land t\notin S\}$即去掉R中屬於S的元素

1.4 笛卡爾積 cartesian product

關係R與關係S的並記作：$R\times S=\{\overset{\large\frown}{t_Rt_S}\ |\ t_R\in R \land t_S\in S\}$這裏的笛卡爾積指的是廣義笛卡爾積，對元組進行笛卡爾積有點類似於小學數學課上學過的握手遊戲。

對於$R\times S$來說，表示每個R中的元組都要與S中的元組連接一次

1.5 傳統關係運算舉例

設$R$:

color	pattern	size
紅	A	5
紅	B	10
藍	B	5

$S$:

color	pattern	size
紅	B	10
紅	C	10
藍	B	5

則有：

• $R$與$S$的並$R\cup S$:

color	pattern	size
紅	A	5
紅	B	10
藍	B	5
紅	C	10

• $R$與$S$的交$R\cap S$:

color	pattern	size
紅	B	10
藍	B	5

• $R$與$S$的差$R- S$:

color	pattern	size
紅	A	5

• $R$與$S$的笛卡爾積$R\times S$：

R.color	R.pattern	R.size	S.color	S.pattern	S.size
紅	A	5	紅	B	10
紅	A	5	紅	C	10
紅	A	5	藍	B	5
紅	B	10	紅	B	10
紅	B	10	紅	C	10
紅	B	10	藍	B	5
藍	B	5	紅	B	10
藍	B	5	紅	C	10
藍	B	5	藍	B	5

2 專用的關係運算

專用的關係運算符包括選擇、投影、連接、除運算

在具體介紹運算符之前爲了方便表達，先引入幾個符號：

• $R$：關係。$R=\{r_1,r_2,...,r_n\}$，其中$r_i$表示$R$中的列。類似的，$S$等符號也代表一個關係
• $t$：元組。$t$代表$R$的某一行，稱$t$爲元組。
• $t[r_i]$：分量。$t[r_i]$表示$t$行中$r_i$列的值，稱$t[r_i]$爲分量。
• $Z_{t[r_i]}$：象集。$Z_{t[r_i]}$表示$t$行中除$r_i$列外其他列的值，稱$Z_{t[r_i]}$爲象集。
• $\theta$：比較運算符。比較運算符有6種，分別是$=$、$>$、$\geq$、$<$、$\leq$、$<>$

2.1 選擇 selection

選擇關係運算記作：$\sigma_{r_i\theta t[r_i]}(R)=\{\ t\ |\ t\in R\land r_i\theta t[r_i]=true\}$即取出$R$表中$r_i$列的值與$t[r_i]$具有$\theta$關係的行
例如：
$\sigma_{Sage<20}(Student)$表示取出$Student$表中$Sage$列值小於數值20的行
$\sigma_{Sname='李勇'}(Student)$表示取出$Student$表中$Sname$列值等於字符串李勇的行

2.2 投影 projection

投影關係運算記作：$\prod\ _{r_i}(R)=\{t[r_i]\ |\ t\in R\}$即取出$R$表中的$r_i$列
例如：
$\prod\ _{Sage}(Student)$表示從表$Student$取出$Sage$列形成新的關係
$\prod\ _{Sage,Sname}(Student)$表示從表$Student$取出$Sage$和$Sname$列形成新的關係

2.3 連接 join

連接關係運算記作：$\overset{R\Join S}{_{r_{i}\theta r_{j}}}=\{\overset{\large\frown}{t_Rt_S\ |t_R\in R \land t_S\in R\land t_R[r_i]\theta t_S[r_j]\ }\}$即選取$R$與$S$的笛卡爾積中$t_R[r_i]$與$t_S[r_j]$滿足關係$\theta$的行

連接有四種特殊形式：

• 非等值連接。就是指$\theta$不爲等號的連接，例如$\overset{R\Join S}{_{r_{i}< r_{j}}}$表示連接滿足$R.r_i<S.r_j$關係的$R$與$S$中的元組
• 等值連接。就是指$\theta$爲等號的連接，例如$\overset{R\Join S}{_{r_{i}=r_{j}}}$表示連接滿足$R.r_i=S.r_j$關係的$R$與$S$中的元組
• 自然連接。自然連接是一種特殊的等值連接，就是$r_i$與$r_j$的屬性名一致且值相等的等值連接，並在連接結果中去掉重複列，而在一般的等值連接中只需要滿足$r_i$與$r_j$的值相等即可，記作$R\Join S$。
• 外連接。外連接是一種特殊的自然連接，在自然連接的過程中，若連接後元組裏的某個屬性出現Null值就會捨去該元組，而外連接則會保留該元組。外連接分爲三種：
• 1、外連接。保留兩邊關係自然連接後出現Null值屬性的元組，記作$R:\Join: S$
• 2、左外連接。保留左邊關係自然連接後出現Null值屬性的元組，記作$R:\Join S$
• 3、右外連接。保留右邊關係自然連接後出現Null值屬性的元組，記作$R\Join: S$

2.4 除 division

除關係運算記作：$R\div S=\{\ t_R[r_i]\ |\ t_R\in R\land\prod\ _{r_j}(S)\subseteq r_{j\ t_R[r_i]}\ \}$即取出$R$中使$R.r_j$完全等於$S.r_j$的$R.r_i$元組
例如：
$\prod\ _{Sname,Sage}(R)\div \prod\ _{Sage}S$表示取$R$投影中使$R.Sage$完全等於$S.age$的$R.name$元組，形成新的關係

2.5 專用關係運算舉例

設$R$:

color	pattern	size
紅	A	5
紅	B	6
藍	C	8
藍	D	12

$S$:

pattern	weight
A	3
B	7
C	10
C	2
E	2

• $R$的選擇，$\sigma_{color='紅'}(R)$，取出$R$表中$color$列值爲字符串’紅’的行形成新的關係：

color	pattern	size
紅	A	5
紅	B	6

• $R$的投影，$\prod\ _{color,size}(R)$，從表$R$取出$color,size$列形成新的關係:

color	size
紅	5
紅	6
藍	8
藍	12

• $R$與$S$的連接

非等值連接，$\overset{R\Join S}{_{size< weight}}$，連接滿足$size< weight$關係的$R$與$S$中的元組

color	R.pattern	size	S.pattern	weight
紅	A	5	B	7
紅	A	5	C	10
紅	B	6	B	7
紅	B	6	C	10
藍	C	8	C	10

等值連接，$\overset{R\Join S}{_{R.pattern= S.pattern}}$，連接滿足$R.pattern= S.pattern$關係的$R$與$S$中的元組

color	R.pattern	size	S.pattern	weight
紅	A	5	A	3
紅	B	6	B	7
藍	C	8	C	10
藍	C	8	C	2

自然連接，$R\Join S$，連接$R$與$S$中同名屬性值相等的元組：

color	pattern	size	weight
紅	A	5	3
紅	B	6	7
藍	C	8	10
藍	C	8	2

外連接，$R:\Join: S$，保留兩邊關係自然連接後出現Null值屬性的元組：

color	pattern	size	weight
紅	A	5	3
紅	B	6	7
藍	C	8	10
藍	C	8	2
藍	D	12	null
null	E	null	2

左外連接，$R:\Join S$，保留左邊關係自然連接後出現Null值屬性的元組：

color	pattern	size	weight
紅	A	5	3
紅	B	6	7
藍	C	8	10
藍	C	8	2
藍	D	12	null

右外連接，$R\Join: S$，保留右邊關係自然連接後出現Null值屬性的元組：

color	pattern	size	weight
紅	A	5	3
紅	B	6	7
藍	C	8	10
藍	C	8	2
null	E	null	2

• $R$的除運算
  設有除關係$K$

color	size
紅	5
紅	6

則$R\div K$表示取出$R$中使$R.color$完全等於$S.color$、$R.size$完全等於$S.size$的$R.partten$元組

partten

A