生活中最小生成樹的應用十分廣泛，比如：要連通n個城市需要n－1條邊線路，那麼怎麼樣建設才能使工程造價最小呢？可以把線路的造價看成權值求這幾個城市的連通圖的最小生成樹。求最小造價的過程也就轉化成求最小生成樹的過程，則最小生成樹表示使其造價最小的生成樹。
那麼怎麼樣用普利姆算法(prim算法)求最小生成樹（MST）？
本文以圖例方式詳述prim算法求最小生成樹過程，希望對大家有幫助！
相關概念
帶權圖：邊賦以權值的圖稱爲網或帶權圖，帶權圖的生成樹也是帶權的，生成樹T各邊的權值總和稱爲該樹的權。
最小生成樹（MST）：權值最小的生成樹。
生成樹和最小生成樹的應用：要連通n個城市需要n－1條邊線路。可以把邊上的權值解釋爲線路的造價，則最小生成樹表示使其造價最小的生成樹。
最小生成樹的性質
MST性質：假設G＝(V,E)是一個連通網，U是頂點V的一個非空子集。若(u,v)是一條具有最小權值的邊，其中u∈U，v∈V－U，則必存在一棵包含邊(u,v)的最小生成樹。
構造網的最小生成樹必須解決下面兩個問題：
（1）儘可能選取權值小的邊，但不能構成迴路；
（2）選取n－1條恰當的邊以連通n個頂點；
普利姆算法(prim算法)基本思想
prim算法基本思想：
假設G＝(V，E)是連通的，TE是G上最小生成樹中邊的集合。算法從U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}開始。重複執行下列操作：
在所有u∈U，v∈V－U的邊(u，v)∈E中找一條權值最小的邊(u0,v0)併入集合TE中，同時v0併入U，直到V＝U爲止。
此時，TE中必有n-1條邊，T=(V，TE)爲G的最小生成樹。
Prim算法的核心：始終保持TE中的邊集構成一棵生成樹。
看了上面一大段文字是否感覺有點暈？爲了便於大家更好的理解，接下來進行算法過程的分步圖解！
普利姆求最小生成樹算法過程圖解
第一步：隨意選取起點
圖中有9個頂點v1-v9，集合表示爲：V={v1，…，V9}，每條邊的邊權值都在圖上；在進行prim算法時，我們先隨意選擇一個頂點作爲起始點（起始點的選取不會影響最小生成樹結果），在此我們一般選擇v1作爲起始點，現在我們設U集合爲當前所找到最小生成樹裏面的頂點，TE集合爲所找到的邊。
狀態如下：U={v1}； TE={}；
第二步：在前一步的基礎上尋找最小權值
查找一個頂點在U={v1}集合中，另一個頂點在V-U集合中的最小權值，如下圖，在紅線相交的線上找最小值。
通過圖中我們可以看到邊v1-v8的權值最小爲2，那麼將v8加入到U集合，（v1，v8）加入到TE。
狀態如下：U={v1，v8}； TE={（v1，v8）}；
第三步：繼續尋找最小權值
查找一個頂點在U={v1，v8}集合中，另一個頂點在V-U集合中的最小權值，如下圖，在紅線相交的線上找最小值。
通過圖中我們可以看到邊v8-v9的權值最小爲4，那麼將v9加入到U集合，（v8，v9）加入到TE。
狀態如下：U={v1，v8，v9}； TE={（v1，v8），（v8，v9）}；
第四步：在前一步的基礎上，繼續尋找最小權值
查找一個頂點在U={v1，v8，v9}集合中，另一個頂點在V-U集合中的最小權值，如下圖，在紅線相交的線上找最小值。
通過圖中我們可以看到邊v9-v2的權值最小爲1，那麼將v2加入到U集合，（v9，v2）加入到TE。
狀態如下：U={v1，v8，v9，v2}；
TE={（v1，v8），（v8，v9），（v9，v2）}；
第五步：繼續在前一步的基礎上，尋找最小權值
查找一個頂點在U={v1，v8，v9，v2}集合中，另一個頂點在V-U集合中的最小權值，如下圖，在紅線相交的線上找最小值。
通過圖中我們可以看到邊v2-v3的權值最小爲3，那麼將v3加入到U集合，（v2，v3）加入到TE。
狀態如下：U={v1，v8，v9，v2，v3}；
TE={（v1，v8），（v8，v9），（v9，v2），（v2，v3）}；
第五~九步：繼續在前一步的基礎上，尋找最小權值
如此循環一下直到找到所有頂點爲止。到這大家應該對普利姆算法求解最小生成樹的過程有所知曉，但需注意以下三點：
（1）每次都選取權值最小的邊，但不能構成迴路，構成環路的邊則捨棄。如圖中的（v1，v9），（v1，v2）等構成迴路捨棄
（2）遇到權值相等，又均不構成迴路的邊，隨意選擇哪一條，均不影響生成樹結果。如圖中的（v3，v4），（v6，v5）權值均爲9，選擇哪一條在先均不影響最小生成樹的生成結果。
（3）選取n－1條恰當的邊以連通n個頂點。
完整的算法步驟如圖所示：
總結
（1）最小生成樹（MST）是指權值最小的生成樹。
（2）prim算法是求最小生成樹的算法之一，其他算法還有kruskal算法
（3）其時間複雜度爲O(n^2)，與邊得數目無關，prim算法適合稠密圖。