【C語言編程】切比雪夫多項式

問題：

已知：切比雪夫多項式：

編寫一程序，輸入n,x，並輸出0～n的所有T_n(x)的值。

解析：

本題用遞歸函數求解，沒什麼難度，代碼如下：

#include <stdio.h>
int T(int n,int x){
    int k;
    if(n==0)
        k=1;
    else if(n==1)
        k=x;
    else
        k=2*x*T(x,n-1)-T(x,n-2);
    return k;
}
int main() {
    int n,x;
    printf("Input n,x(n>=0):");
    scanf("%d,%d",&n,&x);
    if(n<0) {
        printf("error!");
        return 0;
    }
    printf("%d",T(n,x));
    return 0;
}

擴展

• 概述
  切比雪夫多項式是以俄國著名數學家切比雪夫(Tschebyscheff，又譯契貝雪夫等，1821一1894)的名字命名的重要的特殊函數，第一類切比雪夫多項式Tn和第二類切比雪夫多項式Un(簡稱切比雪夫多項式)。源起於多倍角的餘弦函數和正弦函數的展開式，是與棣美弗定理有關、以遞歸方式定義的多項式序列，是計算數學中的一類特殊函數，對於注入連續函數逼近問題，阻抗變換問題等等的數學、物理學、技術科學中的近似計算有着非常重要的作用
• 源來
  切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的應用。這是因爲第一類切比雪夫多項式的根（被稱爲切比雪夫節點）可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象，並且提供多項式在連續函數的最佳一致逼近。
• 基本性質
  對每個非負整數n， T_n(x) 和 U_n(x) 都爲 n次多項式。 並且當n爲偶（奇）數時，它們是關於x 的偶（奇）函數， 在寫成關於x的多項式時只有偶（奇）次項 [1] 。
  n 1時，Tn的最高次項係數爲 ，n=0時係數爲1。