前言：前文講了DH密鑰交換協議，DH的數學基礎是離散對數，而一個算法在數學上逆運算越困難，其本身被破解的難度越大。
而我們今天要講的橢圓曲線算法，在數學上，就複雜的多。
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橢圓曲線的數學概念
橢圓曲線是由下面的方程描述的曲線：
y² = x³ + ax + b
4a³ + 27b² !=0
比如，y² = x³ - x + 1的圖像是：
橢圓曲線有這樣的兩個性質：
- 關於X軸對稱
- 畫一條直線跟橢圓曲線相交，它們最多有三個交點
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運算
首先定義橢圓曲線上點的加法。設橢圓曲線上有兩點，A和B點，那麼作過這兩點的直線與該曲線相交於第三點（C點），然後關於X軸對稱得到D點，則D爲這兩個點的和，記作D=A+B。很明顯，D點也在該曲線上。所以橢圓曲線上兩點之和也是曲線上的點。
特別地，如果兩點重合，則作橢圓曲線在A點處的切線，與曲線相交於第二點（B點），然後關於X軸對稱得到C點，則C點爲A點與自身的和，記作C=A+A
計算A+B=D
當A != B時，兩點縱座標相減的值與橫座標相減的值就是直線的斜率：λ = (Ya - Yb)/(Xa - Xb)
當A == B，計算過 C(D) 點切線的斜率，既橢圓曲線公式兩邊求導相除：λ = (3Xa² - 1)/2Yb
斜率計算之後，對點R的座標進行計算，公式如下：
Xd = (λ² - Xa - Xb)
Yd = (λ(Xa - Xr) - Ya)
那麼關於橢圓曲線的加法，我們可以得到以下結論
交換律：A+B=B+A
結合律：(A+B)+C = A+(B+C)
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橢圓曲線乘法
簡單介紹完橢圓曲線上定義的加法運算，橢圓曲線上的乘法運算就比較簡單了，因爲加法可以退化爲加法運算，就像算數上的1*3等價與1+1+1。
假設我們需要求2P，則可以化簡爲P+P=2P
同理，當我們需要求3P時，可以化簡爲P+2P=3P，其中2P=P+P
最後，我們可以得到規律，當求nP時（n爲任意正整數），P+(n-1)P=nP，其中(n-1)P=P+(n-2)P
這樣，通過上述介紹的橢圓曲線加法公式，完全可以進行橢圓曲線的乘法計算
這個乘法滿足以下性質：
對於任意正整數kkk和jjj，有
k*(j*P) = (k*j)*P = j*(k*P)
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有限域上的橢圓曲線
但是密碼學中，並不能使用上面介紹的實數域上的橢圓曲線。因爲實數域上的橢圓曲線是連續的，有無限個點，密碼學要求有限點。
實數域上的橢圓曲線的運算有誤差，不精確。密碼學要求精確。
所以我們需要引入有限域上的橢圓曲線。
y² = x³ + ax + b mod P
4a³ + 27b² !=0 mod P
講了這麼多數學概念，相信大家頭都大了，終於可以到整體了
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橢圓曲線的DH密鑰交換（ECDH）
Tom和小明約定使用某條橢圓曲線（包括曲線參數，有限域參數以及基點P等）
Tom生成私鑰A，計算A*P作爲公鑰公佈出去
Jerry生成私鑰B，計算B∗P作爲公鑰公佈出去
Tom得知B*P後，計算
key=A*(B*P)
Jerry得到A*P後，計算
key=B*(A*P)
雙方都得到了相同的密鑰的key，交換完畢
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安全
由於計算橢圓曲線上的離散對數是很難的，所以第三方沒辦法在只知道A∗P和B∗P的情況下計算出A或B的值。
需要注意的是，橢圓曲線DH算法相對於DH算法的安全性提升，僅僅只是在破解難度上，或者說在相等長度的密鑰的情況下，ECDH更不容易被破解，對於中間人攻擊這樣的手段，依舊無能爲力。