條件概率,聯合概率,邊際概率在slam中的應用

SLAM的優化過程其實就是從一個聯合概率去分解邊界概率和條件概率的過程; https://blog.csdn.net/tick_tock97/article/details/79885868

概率:用數據去計算某件事情發生的可能性;

條件概率:條件概率表示在條件Y=b成立的情況下,X=a的概率,記作P(X=a|Y=b)或P(a|b),它具有如下性質:
“在條件Y=b下X的條件分佈”也是一種“X的概率分佈”,因此窮舉X的可取值之後,所有這些值對應的概率之和爲1即:
 ∑aP(X=a|Y=b)=1

聯合概率:聯合概率指的是包含多個條件且所有條件同時成立的概率,記作P(X=a,Y=b)或P(a,b),

邊緣概率:邊緣概率是與聯合概率對應的,P(X=a)或P(Y=b),這類僅與單個隨機變量有關的概率稱爲邊緣概率

聯合概率,條件概率與邊緣概率之間的關係:

                                         

 

聯合概率,條件概率和邊緣概率在SLAM中的應用:

這就涉及到slam的概率建模,對於slam問題,主要涉及到的有兩個重要因素: 當前機器人的狀態sigma, 以及與當前狀態相關的一些觀測ri, 這裏ri可以理解爲相機所觀測到的路標點, 狀態可以理解爲相機的位姿, 那麼每一次的觀測想ri 都是服從概率分佈p(ri | sigma), 且各個測量值相互獨立;則就有

 

在slam問題中, 我們一般已知的都是機器人的狀態 sigma ,也叫做先驗信息p(sigma), 如GPS,邊馬倫信息等, 需要求出的是後驗概率,也就是p(sigma| r), 及已經有了對應的路標點,那麼當前相機的位姿可能sigma的概率是多少,那麼視覺slam鎖要解決的優化問題也就是儘可能的讓這個概率最大化:

 

根據貝葉斯法則有:

 

因爲分母與狀態量sigma無關,所以相當於

 

這就可以看到,其實優化問題中最重要的就是要更方便地求出邊緣概率,也叫邊際概率 和條件概率,通過這二者的式子,進行最優化求出理想的狀態;

已經有了這兩個理論基礎後,再理解舒爾補在SLAM中的應用,先要說的是多元搞死分佈,:

零均值的多元高斯分佈有如下概率形式:

 

這裏的p(x) 就是聯合概率分佈,也就是在slam中需要優化的想,但是這裏的問題是當公式中x的維數越來越高,也就是觀測量越來越多時,如何更快地從搞死多遠分佈中丟棄部分變量, 也就是從P(X1,X2,X3)  中求出 p(x1,x2), 或者p(x2,x3);

以下面這個例子:

還是多元變量x服從高斯分佈,且由兩部分組成 x=[a b], 那麼變量之間構成的協方差矩陣爲

 

其中A = COV(a,a), D = cov(b,b), C= cov(a,b).  由此變量x的概率分佈爲

 

 

中間的協方差矩陣就可以用舒爾補進行分解,具體的分解過程是:

 

這樣就可以從多元高斯分佈中直接分解出邊際概率和條件概率;

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