【吳恩達課後編程作業】01 - 神經網絡和深度學習 - 第四周 - PA1&2 - 一步步搭建多層神經網絡以及應用

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聲明

本文參考Kulbear 的【Building your Deep Neural Network - Step by Step】和【Deep Neural Network - Application】，以及念師的【8. 多層神經網絡代碼實戰】，我基於以上的文章加以自己的理解發表這篇博客，力求讓大家以最輕鬆的姿態理解吳恩達的視頻，如有不妥的地方歡迎大家指正。

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【博主使用的python版本：3.6.2】

開始之前

在正式開始之前，我們先來了解一下我們要做什麼。在本次教程中，我們要構建兩個神經網絡，一個是構建兩層的神經網絡，一個是構建多層的神經網絡，多層神經網絡的層數可以自己定義。本次的教程的難度有所提升，但是我會力求深入簡出。在這裏，我們簡單的講一下難點，本文會提到**[LINEAR-> ACTIVATION]轉發函數，比如我有一個多層的神經網絡，結構是輸入層->隱藏層->隱藏層->···->隱藏層->輸出層**，在每一層中，我會首先計算Z = np.dot(W,A) + b，這叫做【linear_forward】，然後再計算A = relu(Z) 或者 A = sigmoid(Z)，這叫做【linear_activation_forward】，合併起來就是這一層的計算方法，所以每一層的計算都有兩個步驟，先是計算Z，再計算A，你也可以參照下圖：

我們來說一下步驟：

初始化網絡參數
前向傳播

2.1 計算一層的中線性求和的部分

2.2 計算激活函數的部分（ReLU使用L-1次，Sigmod使用1次）

2.3 結合線性求和與激活函數
計算誤差
反向傳播

4.1 線性部分的反向傳播公式

4.2 激活函數部分的反向傳播公式

4.3 結合線性部分與激活函數的反向傳播公式
更新參數

請注意，對於每個前向函數，都有一個相應的後向函數。這就是爲什麼在我們的轉發模塊的每一步都會在cache中存儲一些值，cache的值對計算梯度很有用，在反向傳播模塊中，我們將使用cache來計算梯度。現在我們正式開始分別構建兩層神經網絡和多層神經網絡。

準備軟件包

在開始我們需要準備一些軟件包：

import numpy as np
import h5py
import matplotlib.pyplot as plt
import testCases #參見資料包，或者在文章底部copy
from dnn_utils import sigmoid, sigmoid_backward, relu, relu_backward #參見資料包
import lr_utils #參見資料包，或者在文章底部copy

軟件包準備好了，我們開始構建初始化參數的函數。

爲了和我的數據匹配，你需要指定隨機種子

np.random.seed(1)

初始化參數

對於一個兩層的神經網絡結構而言，模型結構是線性->ReLU->線性->sigmod函數。

初始化函數如下：

def initialize_parameters(n_x,n_h,n_y):
    """
    此函數是爲了初始化兩層網絡參數而使用的函數。
    參數：
        n_x - 輸入層節點數量
        n_h - 隱藏層節點數量
        n_y - 輸出層節點數量
    
    返回：
        parameters - 包含你的參數的python字典：
            W1 - 權重矩陣,維度爲（n_h，n_x）
            b1 - 偏向量，維度爲（n_h，1）
            W2 - 權重矩陣，維度爲（n_y，n_h）
            b2 - 偏向量，維度爲（n_y，1）

    """
    W1 = np.random.randn(n_h, n_x) * 0.01
    b1 = np.zeros((n_h, 1))
    W2 = np.random.randn(n_y, n_h) * 0.01
    b2 = np.zeros((n_y, 1))
    
    #使用斷言確保我的數據格式是正確的
    assert(W1.shape == (n_h, n_x))
    assert(b1.shape == (n_h, 1))
    assert(W2.shape == (n_y, n_h))
    assert(b2.shape == (n_y, 1))
    
    parameters = {"W1": W1,
                  "b1": b1,
                  "W2": W2,
                  "b2": b2}
    
    return parameters

初始化完成我們來測試一下：

print("==============測試initialize_parameters==============")
parameters = initialize_parameters(3,2,1)
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))

測試結果：

==============測試initialize_parameters==============
W1 = [[ 0.01624345 -0.00611756 -0.00528172]
 [-0.01072969  0.00865408 -0.02301539]]
b1 = [[ 0.]
 [ 0.]]
W2 = [[ 0.01744812 -0.00761207]]
b2 = [[ 0.]]

兩層的神經網絡測試已經完畢了，那麼對於一個L層的神經網絡而言呢？初始化會是什麼樣的？

假設X（輸入數據）的維度爲（12288,209）：

<tr>
    <td>  </td> 
    <td> W的維度 </td> 
    <td> b的維度  </td> 
    <td> 激活值的計算</td>
    <td> 激活值的維度</td> 
<tr>

<tr>
    <td> 第 1 層 </td> 
    <td> $(n^{[1]},12288)$ </td> 
    <td> $(n^{[1]},1)$ </td> 
    <td> $Z^{[1]} = W^{[1]}  X + b^{[1]} $ </td> 
    
    <td> $(n^{[1]},209)$ </td> 
<tr>

<tr>
    <td> 第 2 層 </td> 
    <td> $(n^{[2]}, n^{[1]})$  </td> 
    <td> $(n^{[2]},1)$ </td> 
    <td>$Z^{[2]} = W^{[2]} A^{[1]} + b^{[2]}$ </td> 
    <td> $(n^{[2]}, 209)$ </td> 
<tr>

   <tr>
    <td> $\vdots$ </td> 
    <td> $\vdots$  </td> 
    <td> $\vdots$  </td> 
    <td> $\vdots$</td> 
    <td> $\vdots$  </td> 
<tr>

第 L-1 層 $(n^{[L-1]}, n^{[L-2]})$ $(n^{[L-1]}, 1)$ $Z^{[L-1]} = W^{[L-1]} A^{[L-2]} + b^{[L-1]}$ $(n^{[L-1]}, 209)$ 第 L 層 $(n^{[L]}, n^{[L-1]})$ $(n^{[L]}, 1)$ $Z^{[L]} = W^{[L]} A^{[L-1]} + b^{[L]}$ $(n^{[L]}, 209)$

當然，矩陣的計算方法還是要說一下的：
$W = \begin{bmatrix} j & k & l\\ m & n & o \\ p & q & r \end{bmatrix}\;\;\; X = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \;\;\; b =\begin{bmatrix} s \\ t \\ u \end{bmatrix}\tag{1}$

如果要計算 $WX + b$ 的話，計算方法是這樣的：

$WX + b = \begin{bmatrix} (ja + kd + lg) + s & (jb + ke + lh) + s & (jc + kf + li)+ s\\ (ma + nd + og) + t & (mb + ne + oh) + t & (mc + nf + oi) + t\\ (pa + qd + rg) + u & (pb + qe + rh) + u & (pc + qf + ri)+ u \end{bmatrix}\tag{2}$

在實際中，也不需要你去做這麼複雜的運算，我們來看一下它是怎樣計算的吧：

def initialize_parameters_deep(layers_dims):
    """
    此函數是爲了初始化多層網絡參數而使用的函數。
    參數：
        layers_dims - 包含我們網絡中每個圖層的節點數量的列表
    
    返回：
        parameters - 包含參數“W1”，“b1”，...，“WL”，“bL”的字典：
                     W1 - 權重矩陣，維度爲（layers_dims [1]，layers_dims [1-1]）
                     bl - 偏向量，維度爲（layers_dims [1]，1）
    """
    np.random.seed(3)
    parameters = {}
    L = len(layers_dims)
    
    for l in range(1,L):
	    parameters["W" + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) / np.sqrt(layers_dims[l - 1])
        parameters["b" + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))
        
        #確保我要的數據的格式是正確的
        assert(parameters["W" + str(l)].shape == (layers_dims[l], layers_dims[l-1]))
        assert(parameters["b" + str(l)].shape == (layers_dims[l], 1))
        
    return parameters

測試一下：

#測試initialize_parameters_deep
print("==============測試initialize_parameters_deep==============")
layers_dims = [5,4,3]
parameters = initialize_parameters_deep(layers_dims)
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))

測試結果：

==============測試initialize_parameters_deep==============
W1 = [[ 0.01788628  0.0043651   0.00096497 -0.01863493 -0.00277388]
 [-0.00354759 -0.00082741 -0.00627001 -0.00043818 -0.00477218]
 [-0.01313865  0.00884622  0.00881318  0.01709573  0.00050034]
 [-0.00404677 -0.0054536  -0.01546477  0.00982367 -0.01101068]]
b1 = [[ 0.]
 [ 0.]
 [ 0.]
 [ 0.]]
W2 = [[-0.01185047 -0.0020565   0.01486148  0.00236716]
 [-0.01023785 -0.00712993  0.00625245 -0.00160513]
 [-0.00768836 -0.00230031  0.00745056  0.01976111]]
b2 = [[ 0.]
 [ 0.]
 [ 0.]]

我們分別構建了兩層和多層神經網絡的初始化參數的函數，現在我們開始構建前向傳播函數。

前向傳播函數

前向傳播有以下三個步驟

LINEAR
LINEAR - >ACTIVATION，其中激活函數將會使用ReLU或Sigmoid。
[LINEAR - > RELU] ×（L-1） - > LINEAR - > SIGMOID（整個模型）

線性正向傳播模塊（向量化所有示例）使用公式(3)進行計算：
$Z^{[l]} = W^{[l]}A^{[l-1]} +b^{[l]}\tag{3}$

線性部分【LINEAR】

前向傳播中，線性部分計算如下：

def linear_forward(A,W,b):
    """
    實現前向傳播的線性部分。

    參數：
        A - 來自上一層（或輸入數據）的激活，維度爲(上一層的節點數量，示例的數量）
        W - 權重矩陣，numpy數組，維度爲（當前圖層的節點數量，前一圖層的節點數量）
        b - 偏向量，numpy向量，維度爲（當前圖層節點數量，1）

    返回：
         Z - 激活功能的輸入，也稱爲預激活參數
         cache - 一個包含“A”，“W”和“b”的字典，存儲這些變量以有效地計算後向傳遞
    """
    Z = np.dot(W,A) + b
    assert(Z.shape == (W.shape[0],A.shape[1]))
    cache = (A,W,b)
     
    return Z,cache

測試一下線性部分：

#測試linear_forward
print("==============測試linear_forward==============")
A,W,b = testCases.linear_forward_test_case()
Z,linear_cache = linear_forward(A,W,b)
print("Z = " + str(Z))

測試結果：

==============測試linear_forward==============
Z = [[ 3.26295337 -1.23429987]]

我們前向傳播的單層計算完成了一半啦！我們來開始構建後半部分，如果你不知道我在說啥，請往上翻到【開始之前】仔細看看吧~

線性激活部分【LINEAR - >ACTIVATION】

爲了更方便，我們將把兩個功能（線性和激活）分組爲一個功能（LINEAR-> ACTIVATION）。因此，我們將實現一個執行LINEAR前進步驟，然後執行ACTIVATION前進步驟的功能。我們來看看這激活函數的數學實現吧~

Sigmoid: $\sigma(Z) = \sigma(W A + b) = \frac{1}{ 1 + e^{-(W A + b)}}$
ReLU: $A = RELU(Z) = max(0, Z)$

我們爲了實現LINEAR->ACTIVATION這個步驟，使用的公式是： $A^{[l]} = g(Z^{[l]}) = g(W^{[l]}A^{[l-1]} +b^{[l]})$ ，其中，函數g會是sigmoid() 或者是 relu()，當然，sigmoid()只在輸出層使用,現在我們正式構建前向線性激活部分。

def linear_activation_forward(A_prev,W,b,activation):
    """
    實現LINEAR-> ACTIVATION 這一層的前向傳播

    參數：
        A_prev - 來自上一層（或輸入層）的激活，維度爲(上一層的節點數量，示例數）
        W - 權重矩陣，numpy數組，維度爲（當前層的節點數量，前一層的大小）
        b - 偏向量，numpy陣列，維度爲（當前層的節點數量，1）
        activation - 選擇在此層中使用的激活函數名，字符串類型，【"sigmoid" | "relu"】

    返回：
        A - 激活函數的輸出，也稱爲激活後的值
        cache - 一個包含“linear_cache”和“activation_cache”的字典，我們需要存儲它以有效地計算後向傳遞
    """
    
    if activation == "sigmoid":
        Z, linear_cache = linear_forward(A_prev, W, b)
        A, activation_cache = sigmoid(Z)
    elif activation == "relu":
        Z, linear_cache = linear_forward(A_prev, W, b)
        A, activation_cache = relu(Z)
    
    assert(A.shape == (W.shape[0],A_prev.shape[1]))
    cache = (linear_cache,activation_cache)
    
    return A,cache

測試一下：

#測試linear_activation_forward
print("==============測試linear_activation_forward==============")
A_prev, W,b = testCases.linear_activation_forward_test_case()

A, linear_activation_cache = linear_activation_forward(A_prev, W, b, activation = "sigmoid")
print("sigmoid，A = " + str(A))

A, linear_activation_cache = linear_activation_forward(A_prev, W, b, activation = "relu")
print("ReLU，A = " + str(A))

測試結果：

==============測試linear_activation_forward==============
sigmoid，A = [[ 0.96890023  0.11013289]]
ReLU，A = [[ 3.43896131  0.        ]]

我們把兩層模型需要的前向傳播函數做完了，那多層網絡模型的前向傳播是怎樣的呢？我們調用上面的那兩個函數來實現它，爲了在實現L層神經網絡時更加方便，我們需要一個函數來複制前一個函數（帶有RELU的linear_activation_forward）L-1次，然後用一個帶有SIGMOID的linear_activation_forward跟蹤它，我們來看一下它的結構是怎樣的：

**Figure 2** : *[LINEAR -> RELU] $\times$ (L-1) -> LINEAR -> SIGMOID* model

在下面的代碼中，AL表示 $A^{[L]} = \sigma(Z^{[L]}) = \sigma(W^{[L]} A^{[L-1]} + b^{[L]})$ . (也可稱作 Yhat,數學表示爲 $\hat{Y}$ .)

多層模型的前向傳播計算模型代碼如下：

def L_model_forward(X,parameters):
    """
    實現[LINEAR-> RELU] *（L-1） - > LINEAR-> SIGMOID計算前向傳播，也就是多層網絡的前向傳播，爲後面每一層都執行LINEAR和ACTIVATION
    
    參數：
        X - 數據，numpy數組，維度爲（輸入節點數量，示例數）
        parameters - initialize_parameters_deep（）的輸出
    
    返回：
        AL - 最後的激活值
        caches - 包含以下內容的緩存列表：
                 linear_relu_forward（）的每個cache（有L-1個，索引爲從0到L-2）
                 linear_sigmoid_forward（）的cache（只有一個，索引爲L-1）
    """
    caches = []
    A = X
    L = len(parameters) // 2
    for l in range(1,L):
        A_prev = A 
        A, cache = linear_activation_forward(A_prev, parameters['W' + str(l)], parameters['b' + str(l)], "relu")
        caches.append(cache)
    
    AL, cache = linear_activation_forward(A, parameters['W' + str(L)], parameters['b' + str(L)], "sigmoid")
    caches.append(cache)
    
    assert(AL.shape == (1,X.shape[1]))
    
    return AL,caches

測試一下：

#測試L_model_forward
print("==============測試L_model_forward==============")
X,parameters = testCases.L_model_forward_test_case()
AL,caches = L_model_forward(X,parameters)
print("AL = " + str(AL))
print("caches 的長度爲 = " + str(len(caches)))

測試結果：

==============測試L_model_forward==============
AL = [[ 0.17007265  0.2524272 ]]
caches 的長度爲 = 2

計算成本

我們已經把這兩個模型的前向傳播部分完成了，我們需要計算成本（誤差），以確定它到底有沒有在學習，成本的計算公式如下：
$-\frac{1}{m} \sum\limits_{i = 1}^{m} (y^{(i)}\log\left(a^{[L] (i)}\right) + (1-y^{(i)})\log\left(1- a^{[L](i)}\right)) \tag{4}$

def compute_cost(AL,Y):
    """
    實施等式（4）定義的成本函數。

    參數：
        AL - 與標籤預測相對應的概率向量，維度爲（1，示例數量）
        Y - 標籤向量（例如：如果不是貓，則爲0，如果是貓則爲1），維度爲（1，數量）

    返回：
        cost - 交叉熵成本
    """
    m = Y.shape[1]
    cost = -np.sum(np.multiply(np.log(AL),Y) + np.multiply(np.log(1 - AL), 1 - Y)) / m
        
    cost = np.squeeze(cost)
    assert(cost.shape == ())

    return cost

測試一下：

#測試compute_cost
print("==============測試compute_cost==============")
Y,AL = testCases.compute_cost_test_case()
print("cost = " + str(compute_cost(AL, Y)))

測試結果：

==============測試compute_cost==============
cost = 0.414931599615

我們已經把誤差值計算出來了，現在開始進行反向傳播

反向傳播

反向傳播用於計算相對於參數的損失函數的梯度，我們來看看向前和向後傳播的流程圖：

流程圖有了，我們再來看一看對於線性的部分的公式：

我們需要使用 $dZ^{[l]}$ 來計算三個輸出 $(dW^{[l]}, db^{[l]}, dA^{[l]})$ ，下面三個公式是我們要用到的：
$dW^{[l]} = \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial W^{[l]}} = \frac{1}{m} dZ^{[l]} A^{[l-1] T} \tag{5}$
$db^{[l]} = \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial b^{[l]}} = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} dZ^{[l](i)}\tag{6}$
$dA^{[l-1]} = \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial A^{[l-1]}} = W^{[l] T} dZ^{[l]} \tag{7}$

與前向傳播類似，我們有需要使用三個步驟來構建反向傳播：

LINEAR 後向計算
LINEAR -> ACTIVATION 後向計算，其中ACTIVATION 計算Relu或者Sigmoid 的結果
[LINEAR -> RELU] $\times$ (L-1) -> LINEAR -> SIGMOID 後向計算 (整個模型)

線性部分【LINEAR backward】

我們來實現後向傳播線性部分：

def linear_backward(dZ,cache):
    """
    爲單層實現反向傳播的線性部分（第L層）

    參數：
         dZ - 相對於（當前第l層的）線性輸出的成本梯度
         cache - 來自當前層前向傳播的值的元組（A_prev，W，b）

    返回：
         dA_prev - 相對於激活（前一層l-1）的成本梯度，與A_prev維度相同
         dW - 相對於W（當前層l）的成本梯度，與W的維度相同
         db - 相對於b（當前層l）的成本梯度，與b維度相同
    """
    A_prev, W, b = cache
    m = A_prev.shape[1]
    dW = np.dot(dZ, A_prev.T) / m
    db = np.sum(dZ, axis=1, keepdims=True) / m
    dA_prev = np.dot(W.T, dZ)
    
    assert (dA_prev.shape == A_prev.shape)
    assert (dW.shape == W.shape)
    assert (db.shape == b.shape)
    
    return dA_prev, dW, db

測試一下：

#測試linear_backward
print("==============測試linear_backward==============")
dZ, linear_cache = testCases.linear_backward_test_case()

dA_prev, dW, db = linear_backward(dZ, linear_cache)
print ("dA_prev = "+ str(dA_prev))
print ("dW = " + str(dW))
print ("db = " + str(db))

測試結果：

==============測試linear_backward==============
dA_prev = [[ 0.51822968 -0.19517421]
 [-0.40506361  0.15255393]
 [ 2.37496825 -0.89445391]]
dW = [[-0.10076895  1.40685096  1.64992505]]
db = [[ 0.50629448]]

線性激活部分【LINEAR -> ACTIVATION backward】

爲了幫助你實現linear_activation_backward，我們提供了兩個後向函數：

sigmoid_backward:實現了sigmoid（）函數的反向傳播，你可以這樣調用它：

dZ = sigmoid_backward(dA, activation_cache)

relu_backward: 實現了relu（）函數的反向傳播，你可以這樣調用它：

dZ = relu_backward(dA, activation_cache)

如果 $g(.)$ 是激活函數, 那麼sigmoid_backward 和 relu_backward 這樣計算：
$dZ^{[l]} = dA^{[l]} * g'(Z^{[l]}) \tag{8}$ .

我們先在正式開始實現後向線性激活：

def linear_activation_backward(dA,cache,activation="relu"):
    """
    實現LINEAR-> ACTIVATION層的後向傳播。
    
    參數：
         dA - 當前層l的激活後的梯度值
         cache - 我們存儲的用於有效計算反向傳播的值的元組（值爲linear_cache，activation_cache）
         activation - 要在此層中使用的激活函數名，字符串類型，【"sigmoid" | "relu"】
    返回：
         dA_prev - 相對於激活（前一層l-1）的成本梯度值，與A_prev維度相同
         dW - 相對於W（當前層l）的成本梯度值，與W的維度相同
         db - 相對於b（當前層l）的成本梯度值，與b的維度相同
    """
    linear_cache, activation_cache = cache
    if activation == "relu":
        dZ = relu_backward(dA, activation_cache)
        dA_prev, dW, db = linear_backward(dZ, linear_cache)
    elif activation == "sigmoid":
        dZ = sigmoid_backward(dA, activation_cache)
        dA_prev, dW, db = linear_backward(dZ, linear_cache)
    
    return dA_prev,dW,db

測試一下：

#測試linear_activation_backward
print("==============測試linear_activation_backward==============")
AL, linear_activation_cache = testCases.linear_activation_backward_test_case()
 
dA_prev, dW, db = linear_activation_backward(AL, linear_activation_cache, activation = "sigmoid")
print ("sigmoid:")
print ("dA_prev = "+ str(dA_prev))
print ("dW = " + str(dW))
print ("db = " + str(db) + "\n")
 
dA_prev, dW, db = linear_activation_backward(AL, linear_activation_cache, activation = "relu")
print ("relu:")
print ("dA_prev = "+ str(dA_prev))
print ("dW = " + str(dW))
print ("db = " + str(db))

測試結果：

==============測試linear_activation_backward==============
sigmoid:
dA_prev = [[ 0.11017994  0.01105339]
 [ 0.09466817  0.00949723]
 [-0.05743092 -0.00576154]]
dW = [[ 0.10266786  0.09778551 -0.01968084]]
db = [[-0.05729622]]

relu:
dA_prev = [[ 0.44090989 -0.        ]
 [ 0.37883606 -0.        ]
 [-0.2298228   0.        ]]
dW = [[ 0.44513824  0.37371418 -0.10478989]]
db = [[-0.20837892]]

我們已經把兩層模型的後向計算完成了，對於多層模型我們也需要這兩個函數來完成，我們來看一下流程圖：

在之前的前向計算中，我們存儲了一些包含包含（X，W，b和z）的cache，在犯下那個船舶中，我們將會使用它們來計算梯度值，所以，在L層模型中，我們需要從L層遍歷所有的隱藏層，在每一步中，我們需要使用那一層的cache值來進行反向傳播。
上面我們提到了 $A^{[L]}$ ，它屬於輸出層， $A^{[L]} = \sigma(Z^{[L]})$ ，所以我們需要計算dAL，我們可以使用下面的代碼來計算它：

dAL = - (np.divide(Y, AL) - np.divide(1 - Y, 1 - AL))

計算完了以後，我們可以使用此激活後的梯度dAL繼續向後計算，我們這就開始構建多層模型向後傳播函數：

def L_model_backward(AL,Y,caches):
    """
    對[LINEAR-> RELU] *（L-1） - > LINEAR - > SIGMOID組執行反向傳播，就是多層網絡的向後傳播
    
    參數：
     AL - 概率向量，正向傳播的輸出（L_model_forward（））
     Y - 標籤向量（例如：如果不是貓，則爲0，如果是貓則爲1），維度爲（1，數量）
     caches - 包含以下內容的cache列表：
                 linear_activation_forward（"relu"）的cache，不包含輸出層
                 linear_activation_forward（"sigmoid"）的cache
    
    返回：
     grads - 具有梯度值的字典
              grads [“dA”+ str（l）] = ...
              grads [“dW”+ str（l）] = ...
              grads [“db”+ str（l）] = ...
    """
    grads = {}
    L = len(caches)
    m = AL.shape[1]
    Y = Y.reshape(AL.shape)
    dAL = - (np.divide(Y, AL) - np.divide(1 - Y, 1 - AL))
    
    current_cache = caches[L-1]
    grads["dA" + str(L)], grads["dW" + str(L)], grads["db" + str(L)] = linear_activation_backward(dAL, current_cache, "sigmoid")
    
    for l in reversed(range(L-1)):
        current_cache = caches[l]
        dA_prev_temp, dW_temp, db_temp = linear_activation_backward(grads["dA" + str(l + 2)], current_cache, "relu")
        grads["dA" + str(l + 1)] = dA_prev_temp
        grads["dW" + str(l + 1)] = dW_temp
        grads["db" + str(l + 1)] = db_temp
    
    return grads

測試一下：

#測試L_model_backward
print("==============測試L_model_backward==============")
AL, Y_assess, caches = testCases.L_model_backward_test_case()
grads = L_model_backward(AL, Y_assess, caches)
print ("dW1 = "+ str(grads["dW1"]))
print ("db1 = "+ str(grads["db1"]))
print ("dA1 = "+ str(grads["dA1"]))

測試結果：

==============測試L_model_backward==============
dW1 = [[ 0.41010002  0.07807203  0.13798444  0.10502167]
 [ 0.          0.          0.          0.        ]
 [ 0.05283652  0.01005865  0.01777766  0.0135308 ]]
db1 = [[-0.22007063]
 [ 0.        ]
 [-0.02835349]]
dA1 = [[ 0.          0.52257901]
 [ 0.         -0.3269206 ]
 [ 0.         -0.32070404]
 [ 0.         -0.74079187]]

更新參數

我們把向前向後傳播都完成了，現在我們就開始更新參數，當然，我們來看看更新參數的公式吧~

$W^{[l]} = W^{[l]} - \alpha \text{ } dW^{[l]} \tag{9}$
$b^{[l]} = b^{[l]} - \alpha \text{ } db^{[l]} \tag{10}$

其中 $\alpha$ 是學習率。

def update_parameters(parameters, grads, learning_rate):
    """
    使用梯度下降更新參數
    
    參數：
     parameters - 包含你的參數的字典
     grads - 包含梯度值的字典，是L_model_backward的輸出
    
    返回：
     parameters - 包含更新參數的字典
                   參數[“W”+ str（l）] = ...
                   參數[“b”+ str（l）] = ...
    """
    L = len(parameters) // 2 #整除
    for l in range(L):
        parameters["W" + str(l + 1)] = parameters["W" + str(l + 1)] - learning_rate * grads["dW" + str(l + 1)]
        parameters["b" + str(l + 1)] = parameters["b" + str(l + 1)] - learning_rate * grads["db" + str(l + 1)]
        
    return parameters

測試一下：

#測試update_parameters
print("==============測試update_parameters==============")
parameters, grads = testCases.update_parameters_test_case()
parameters = update_parameters(parameters, grads, 0.1)
 
print ("W1 = "+ str(parameters["W1"]))
print ("b1 = "+ str(parameters["b1"]))
print ("W2 = "+ str(parameters["W2"]))
print ("b2 = "+ str(parameters["b2"]))

測試結果：

==============測試update_parameters==============
W1 = [[-0.59562069 -0.09991781 -2.14584584  1.82662008]
 [-1.76569676 -0.80627147  0.51115557 -1.18258802]
 [-1.0535704  -0.86128581  0.68284052  2.20374577]]
b1 = [[-0.04659241]
 [-1.28888275]
 [ 0.53405496]]
W2 = [[-0.55569196  0.0354055   1.32964895]]
b2 = [[-0.84610769]]

至此爲止，我們已經實現該神經網絡中所有需要的函數。接下來，我們將這些方法組合在一起，構成一個神經網絡類，可以方便的使用。

搭建兩層神經網絡

一個兩層的神經網絡模型圖如下：

該模型可以概括爲： **INPUT -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID -> OUTPUT**

我們正式開始構建兩層的神經網絡:

def two_layer_model(X,Y,layers_dims,learning_rate=0.0075,num_iterations=3000,print_cost=False,isPlot=True):
    """
    實現一個兩層的神經網絡，【LINEAR->RELU】 -> 【LINEAR->SIGMOID】
    參數：
        X - 輸入的數據，維度爲(n_x，例子數)
        Y - 標籤，向量，0爲非貓，1爲貓，維度爲(1,數量)
        layers_dims - 層數的向量，維度爲(n_y,n_h,n_y)
        learning_rate - 學習率
        num_iterations - 迭代的次數
        print_cost - 是否打印成本值，每100次打印一次
        isPlot - 是否繪製出誤差值的圖譜
    返回:
        parameters - 一個包含W1，b1，W2，b2的字典變量
    """
    np.random.seed(1)
    grads = {}
    costs = []
    (n_x,n_h,n_y) = layers_dims
    
    """
    初始化參數
    """
    parameters = initialize_parameters(n_x, n_h, n_y)
    
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    
    """
    開始進行迭代
    """
    for i in range(0,num_iterations):
        #前向傳播
        A1, cache1 = linear_activation_forward(X, W1, b1, "relu")
        A2, cache2 = linear_activation_forward(A1, W2, b2, "sigmoid")
        
        #計算成本
        cost = compute_cost(A2,Y)
        
        #後向傳播
        ##初始化後向傳播
        dA2 = - (np.divide(Y, A2) - np.divide(1 - Y, 1 - A2))
        
        ##向後傳播，輸入：“dA2，cache2，cache1”。 輸出：“dA1，dW2，db2;還有dA0（未使用），dW1，db1”。
        dA1, dW2, db2 = linear_activation_backward(dA2, cache2, "sigmoid")
        dA0, dW1, db1 = linear_activation_backward(dA1, cache1, "relu")
        
        ##向後傳播完成後的數據保存到grads
        grads["dW1"] = dW1
        grads["db1"] = db1
        grads["dW2"] = dW2
        grads["db2"] = db2
        
        #更新參數
        parameters = update_parameters(parameters,grads,learning_rate)
        W1 = parameters["W1"]
        b1 = parameters["b1"]
        W2 = parameters["W2"]
        b2 = parameters["b2"]
        
        #打印成本值，如果print_cost=False則忽略
        if i % 100 == 0:
            #記錄成本
            costs.append(cost)
            #是否打印成本值
            if print_cost:
                print("第", i ,"次迭代，成本值爲：" ,np.squeeze(cost))
    #迭代完成，根據條件繪製圖
    if isPlot:
        plt.plot(np.squeeze(costs))
        plt.ylabel('cost')
        plt.xlabel('iterations (per tens)')
        plt.title("Learning rate =" + str(learning_rate))
        plt.show()
    
    #返回parameters
    return parameters

我們現在開始加載數據集,圖像數據集的處理可以參照：【中文】【吳恩達課後編程作業】Course 1 - 神經網絡和深度學習 - 第二週作業，就連數據集也是一樣的。

train_set_x_orig , train_set_y , test_set_x_orig , test_set_y , classes = lr_utils.load_dataset()

train_x_flatten = train_set_x_orig.reshape(train_set_x_orig.shape[0], -1).T 
test_x_flatten = test_set_x_orig.reshape(test_set_x_orig.shape[0], -1).T

train_x = train_x_flatten / 255
train_y = train_set_y
test_x = test_x_flatten / 255
test_y = test_set_y

數據集加載完成，開始正式訓練：

n_x = 12288
n_h = 7
n_y = 1
layers_dims = (n_x,n_h,n_y)

parameters = two_layer_model(train_x, train_set_y, layers_dims = (n_x, n_h, n_y), num_iterations = 2500, print_cost=True,isPlot=True)

訓練結果：

第 0 次迭代，成本值爲： 0.69304973566
第 100 次迭代，成本值爲： 0.646432095343
第 200 次迭代，成本值爲： 0.632514064791
第 300 次迭代，成本值爲： 0.601502492035
第 400 次迭代，成本值爲： 0.560196631161
第 500 次迭代，成本值爲： 0.515830477276
第 600 次迭代，成本值爲： 0.475490131394
第 700 次迭代，成本值爲： 0.433916315123
第 800 次迭代，成本值爲： 0.40079775362
第 900 次迭代，成本值爲： 0.358070501132
第 1000 次迭代，成本值爲： 0.339428153837
第 1100 次迭代，成本值爲： 0.30527536362
第 1200 次迭代，成本值爲： 0.274913772821
第 1300 次迭代，成本值爲： 0.246817682106
第 1400 次迭代，成本值爲： 0.198507350375
第 1500 次迭代，成本值爲： 0.174483181126
第 1600 次迭代，成本值爲： 0.170807629781
第 1700 次迭代，成本值爲： 0.113065245622
第 1800 次迭代，成本值爲： 0.0962942684594
第 1900 次迭代，成本值爲： 0.0834261795973
第 2000 次迭代，成本值爲： 0.0743907870432
第 2100 次迭代，成本值爲： 0.0663074813227
第 2200 次迭代，成本值爲： 0.0591932950104
第 2300 次迭代，成本值爲： 0.0533614034856
第 2400 次迭代，成本值爲： 0.0485547856288

迭代完成之後我們就可以進行預測了，預測函數如下：

def predict(X, y, parameters):
    """
    該函數用於預測L層神經網絡的結果，當然也包含兩層
    
    參數：
     X - 測試集
     y - 標籤
     parameters - 訓練模型的參數
    
    返回：
     p - 給定數據集X的預測
    """
    
    m = X.shape[1]
    n = len(parameters) // 2 # 神經網絡的層數
    p = np.zeros((1,m))
    
    #根據參數前向傳播
    probas, caches = L_model_forward(X, parameters)
    
    for i in range(0, probas.shape[1]):
        if probas[0,i] > 0.5:
            p[0,i] = 1
        else:
            p[0,i] = 0
    
    print("準確度爲: "  + str(float(np.sum((p == y))/m)))
        
    return p

預測函數構建好了我們就開始預測，查看訓練集和測試集的準確性：

predictions_train = predict(train_x, train_y, parameters) #訓練集
predictions_test = predict(test_x, test_y, parameters) #測試集

預測結果：

準確度爲: 1.0
準確度爲: 0.72

這樣看來，我的測試集的準確度要比上一次（【中文】【吳恩達課後編程作業】Course 1 - 神經網絡和深度學習 - 第二週作業）高一些，上次的是70%，這次是72%，那如果我使用更多層的聖經網絡呢？

搭建多層神經網絡

我們首先來看看多層的網絡的結構吧~

def L_layer_model(X, Y, layers_dims, learning_rate=0.0075, num_iterations=3000, print_cost=False,isPlot=True):
    """
    實現一個L層神經網絡：[LINEAR-> RELU] *（L-1） - > LINEAR-> SIGMOID。
    
    參數：
	    X - 輸入的數據，維度爲(n_x，例子數)
        Y - 標籤，向量，0爲非貓，1爲貓，維度爲(1,數量)
        layers_dims - 層數的向量，維度爲(n_y,n_h,···,n_h,n_y)
        learning_rate - 學習率
        num_iterations - 迭代的次數
        print_cost - 是否打印成本值，每100次打印一次
        isPlot - 是否繪製出誤差值的圖譜
    
    返回：
     parameters - 模型學習的參數。 然後他們可以用來預測。
    """
    np.random.seed(1)
    costs = []
    
    parameters = initialize_parameters_deep(layers_dims)
    
    for i in range(0,num_iterations):
        AL , caches = L_model_forward(X,parameters)
        
        cost = compute_cost(AL,Y)
        
        grads = L_model_backward(AL,Y,caches)
        
        parameters = update_parameters(parameters,grads,learning_rate)
        
        #打印成本值，如果print_cost=False則忽略
        if i % 100 == 0:
            #記錄成本
            costs.append(cost)
            #是否打印成本值
            if print_cost:
                print("第", i ,"次迭代，成本值爲：" ,np.squeeze(cost))
    #迭代完成，根據條件繪製圖
    if isPlot:
        plt.plot(np.squeeze(costs))
        plt.ylabel('cost')
        plt.xlabel('iterations (per tens)')
        plt.title("Learning rate =" + str(learning_rate))
        plt.show()
    return parameters

train_set_x_orig , train_set_y , test_set_x_orig , test_set_y , classes = lr_utils.load_dataset()

train_x_flatten = train_set_x_orig.reshape(train_set_x_orig.shape[0], -1).T 
test_x_flatten = test_set_x_orig.reshape(test_set_x_orig.shape[0], -1).T

train_x = train_x_flatten / 255
train_y = train_set_y
test_x = test_x_flatten / 255
test_y = test_set_y

數據集加載完成，開始正式訓練：

layers_dims = [12288, 20, 7, 5, 1] #  5-layer model
parameters = L_layer_model(train_x, train_y, layers_dims, num_iterations = 2500, print_cost = True,isPlot=True)

訓練結果：

第 0 次迭代，成本值爲： 0.715731513414
第 100 次迭代，成本值爲： 0.674737759347
第 200 次迭代，成本值爲： 0.660336543362
第 300 次迭代，成本值爲： 0.646288780215
第 400 次迭代，成本值爲： 0.629813121693
第 500 次迭代，成本值爲： 0.606005622927
第 600 次迭代，成本值爲： 0.569004126398
第 700 次迭代，成本值爲： 0.519796535044
第 800 次迭代，成本值爲： 0.464157167863
第 900 次迭代，成本值爲： 0.408420300483
第 1000 次迭代，成本值爲： 0.373154992161
第 1100 次迭代，成本值爲： 0.30572374573
第 1200 次迭代，成本值爲： 0.268101528477
第 1300 次迭代，成本值爲： 0.238724748277
第 1400 次迭代，成本值爲： 0.206322632579
第 1500 次迭代，成本值爲： 0.179438869275
第 1600 次迭代，成本值爲： 0.157987358188
第 1700 次迭代，成本值爲： 0.142404130123
第 1800 次迭代，成本值爲： 0.128651659979
第 1900 次迭代，成本值爲： 0.112443149982
第 2000 次迭代，成本值爲： 0.0850563103497
第 2100 次迭代，成本值爲： 0.0575839119861
第 2200 次迭代，成本值爲： 0.044567534547
第 2300 次迭代，成本值爲： 0.038082751666
第 2400 次迭代，成本值爲： 0.0344107490184

訓練完成，我們看一下預測：

pred_train = predict(train_x, train_y, parameters) #訓練集
pred_test = predict(test_x, test_y, parameters) #測試集

預測結果：

準確度爲: 0.9952153110047847
準確度爲: 0.78

就準確度而言，從70%到72%再到78%，可以看到的是準確度在一點點增加，當然，你也可以手動的去調整layers_dims，準確度可能又會提高一些。

分析

我們可以看一看有哪些東西在L層模型中被錯誤地標記了，導致準確率沒有提高。

def print_mislabeled_images(classes, X, y, p):
    """
	繪製預測和實際不同的圖像。
	    X - 數據集
	    y - 實際的標籤
	    p - 預測
    """
    a = p + y
    mislabeled_indices = np.asarray(np.where(a == 1))
    plt.rcParams['figure.figsize'] = (40.0, 40.0) # set default size of plots
    num_images = len(mislabeled_indices[0])
    for i in range(num_images):
        index = mislabeled_indices[1][i]
        
        plt.subplot(2, num_images, i + 1)
        plt.imshow(X[:,index].reshape(64,64,3), interpolation='nearest')
        plt.axis('off')
        plt.title("Prediction: " + classes[int(p[0,index])].decode("utf-8") + " \n Class: " + classes[y[0,index]].decode("utf-8"))


print_mislabeled_images(classes, test_x, test_y, pred_test)

運行結果：

分析一下我們就可以得知原因了：
模型往往表現欠佳的幾種類型的圖像包括：

貓身體在一個不同的位置
貓出現在相似顏色的背景下
不同的貓的顏色和品種
相機角度
圖片的亮度
比例變化（貓的圖像非常大或很小）

【選做】

我們使用自己圖片試試？
我們把一張圖片放在一個特定位置，然後識別它。


## START CODE HERE ##
my_image = "my_image.jpg" # change this to the name of your image file 
my_label_y = [1] # the true class of your image (1 -> cat, 0 -> non-cat)
## END CODE HERE ##

fname = "images/" + my_image
image = np.array(ndimage.imread(fname, flatten=False))
my_image = scipy.misc.imresize(image, size=(num_px,num_px)).reshape((num_px*num_px*3,1))
my_predicted_image = predict(my_image, my_label_y, parameters)

plt.imshow(image)
print ("y = " + str(np.squeeze(my_predicted_image)) + ", your L-layer model predicts a \"" + classes[int(np.squeeze(my_predicted_image)),].decode("utf-8") +  "\" picture.")

運行結果：

準確度: 1.0
y = 1.0, your L-layer model predicts a "cat" picture.

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【吳恩達課後編程作業】01 - 神經網絡和深度學習 - 第四周 - PA1&2 - 一步步搭建多層神經網絡以及應用

聲明

開始之前

準備軟件包

初始化參數

前向傳播函數

線性部分【LINEAR】

線性激活部分【LINEAR - >ACTIVATION】

計算成本

反向傳播

線性部分【LINEAR backward】

線性激活部分【LINEAR -> ACTIVATION backward】

更新參數

搭建兩層神經網絡

搭建多層神經網絡

分析

【選做】

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dnn_utils.py

testCase.py

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