本文首發於 vivo互聯網技術 微信公衆號
鏈接：https://mp.weixin.qq.com/s/2kea7-jACCJmSYBQAwXyIg
作者：劉洋
在 js 中進行數學的運算時，會出現0.1+0.2=0.300000000000000004的結果，一開始認爲是浮點數的二進制存儲導致的精度問題，但這似乎不能很好的解釋爲什麼在同樣的存儲方式下0.3+0.4=0.7可以得到正確的結果。本文主要通過浮點數的二進制存儲及運算，和IEEE754下的舍入規則，解釋爲何會出現這種情況。
一、浮點數的二進制存儲
JavaScript遵循IEEE754標準，在64位中存儲一個數據的有效數字形式。
其中，第0位爲符號位，0表示正數1表示負數；第1到11位存儲指數部分；第12到63位存小數部分（尾數部分）（即有效數字）。由於二進制的有效數字總是表示爲 1.xxx…的形式，尾數部分在規約形式下的第一位默認爲1，故存儲時第一位省略不寫，尾數部分f存儲有效數字小數點後的xxx...，最長52位。因此，JavaScript提供的有效數字最長爲53個二進制位（尾數部分52位+被省略的1位）。
以0.1、0.2、0.3、0.4和0.7的二進制形式爲例：
0.1->0.0001100110011...(0011無限循環)->0-01111111011-(1 .)1001100110011001100110011001100110011001100110011010(入)
0.2->0.001100110011...(0011無限循環)->0-01111111100-(1 .)1001100110011001100110011001100110011001100110011010(入)
0.3->0.01001100110011...(0011無限循環)->0-01111111101-(1 .)0011001100110011001100110011001100110011001100110011(舍)
0.4->0.01100110011...(0011無限循環)->0-01111111101-(1 .)1001100110011001100110011001100110011001100110011010(入)
0.7->0.101100110011...(0011無限循環)->0-01111111110-(1 .)0110011001100110011001100110011001100110011001100110(舍)
對於52位之後進行舍入運算，此時可看作0舍1入（具體舍入規則在第三部分詳細說明），有精度損失。
二、對階運算
由於指數位數不同，運算時需要進行對階運算。對階過程略，0.1+0.2與0.3+0.4的尾數求和結果分別如下：
0.1+0.2->10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111
0.3+0.4->10.1100110011001100110011001100110011001100110011001101
求和結果需規格化（有效數字表示），右規導致低位丟失，此時需對丟失的低位進行舍入操作：
0.1+0.2->1.00110011001100110011001100110011001100110011001100111->1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100(入)
0.3+0.4->1.01100110011001100110011001100110011001100110011001101->1.0110011001100110011001100110011001100110011001100110(舍)
即：
00111->0100
01101->0110
此處同樣有精度損失。在這裏我們可以發現，0.3+0.4對階階運算且規格化後的運算結果與0.7在二進制中的存儲尾數相同（可對照尾數後幾位），而0.1+0.2的運算結果與0.3的存儲尾數不同，且0.1+0.2轉化爲十進制時結果爲0.300000000000000004。
此時，雖然0.1+0.2與0.3+0.4進行舍入操作的近似位都爲1，但一入一舍導致計算結果與“標準答案”的異同。
三、IEEE754標準下的舍入規則
維基百科對最近偶數舍入原則的解釋如下：舍入到最接近，在一樣接近的情況下偶數優先（Ties To Even，這是默認的舍入方式），即會將結果舍入爲最接近（精度損失最小）且可以表示的值，但是當存在兩個數一樣接近的時候，則取其中的偶數（在二進制中是以0結尾的）。
首先要注意的是，保留小數不是隻看後面一位或者兩位，而是看保留位後面的所有位。
如圖，可以看到近似需要看三位，保留位（近似後的最低位）、近似位（保留位的後一位）、粘滯位（sticky bit 近似位後的所有位進行或運算後看作一位）。
當粘滯位爲1時，舍入規則可以看作0舍1入，近似位爲0舍，近似位爲1入（即第一部分小數二進制存儲爲52位尾數時所進行的舍入操作）。
當粘滯位爲0時，若近似位爲0則捨去。
當粘滯位爲0時，若近似位爲1，無論舍入精度損失都相同，故需取捨入兩種結果中的偶數：保留位爲1時入，保留位爲0時舍（即第二部分對階運算規格化時的舍入操作）。
四、總結思考
由於IEEE754標準，這樣的“bug”不止在JavaScript中會出現，在所有采用該標準的語言中都會存在，實際編程中可以通過設置精度保留位數等方式解決。
更多內容敬請關注 vivo 互聯網技術 微信公衆號
注：轉載文章請先與微信號：labs2020 聯繫。