62. 不同路徑

1. 題目

一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記爲“Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記爲“Finish”）。

問總共有多少條不同的路徑？

 

例如，上圖是一個7 x 3 的網格。有多少可能的路徑？

說明：m 和 n 的值均不超過 100。

示例 1:

輸入: m = 3, n = 2
輸出: 3
解釋:
從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

輸入: m = 7, n = 3
輸出: 28

2. 分析

依據題意可知，每次 Robot 只可以向下移動或者向右移動，因此當 m 或者 n 爲 1 時，Robot 只有唯一的路。首先，我們可以定義一個二維數組memo，memo[ m ][ n ]的值代表有多少條路徑可達 memo[ m ][ n ]，即 memo[ m ][ n ] = memo[m - 1][ n] + memo[ m ][ n - 1 ]，因爲根據推斷出的狀態方程，memo的第一行和第一列值都爲1，所以起點需要從memo[ 1 ][ 1 ]開始，自底向上進行遍歷，最終求出終點（m，n）的路徑數量，返回memo[ m - 1 ][ n - 1 ]即可。

3. 實現

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        if( m == 1 || n == 1)
            return 1;
        
        memo = vector<vector<int>>(m, vector<int>(n, 1));
        for(int i = 1; i < memo.size(); i++)
        {
            for(int j = 1; j < memo[0].size(); j++)
            {
                memo[i][j] = memo[i-1][j] + memo[i][j-1];
            }
        }
        
        return memo[m-1][n-1];
    }

private:
    vector<vector<int>> memo;
};