本文授權轉載自：遇見數學
譯者： Atena
我們難免會遇到人生中這樣或那樣令你錯愕的場景，出乎預料的事情撲面砸來，職場、社會壓力、生活焦慮……真的很想熬過那個時間，克服或忘記曾發生過什麼尷尬。
如果作爲一個數學人，當原本以爲嚴謹、精確的數學卻發生令你大失所望的事情，又該怎麼面對呢？
數學一直致力於對客觀世界的探求，無論是通過邏輯思考還是通過使用嚴格定義的數學語言去闡述的這種方式。不過當數學的世界在某一瞬間突然失去了這些意義後，還能夠用心去觀察數學，那麼這就真的很有啓發性，富有教育的意義是多方面的。
無理數的發現
因爲數學的嚴謹源自於古希臘，數學思想最初是緊密圍繞宗教信仰，因此，數被賦予了神聖的屬性。
畢達哥拉斯學派，一個早期數學的神祕團體，它推動了數學知識的發展，像所有的狂熱者一樣，它建立在原教旨主義之上。他們爲比例能夠運用到每個實際問題而感到震撼，因此相信比例都是神聖的，這樣他們也可以對世界上發生的任何事做出解釋。
畢達哥拉斯主義者慶祝日出，Fyodor Bronnikov作(圖自維基)
那麼相應的，引發第一次數學危機的根號2世界上發生的每一件事都應該用比例來表達，對吧？
現在想象一下，當剛問世不久的畢達哥拉斯定理得到應用，就發現了 時候的那種震驚。這個無理數（無理數即不能由兩個整數的比值來表示）顛覆了由比值的神聖性所表達的世界秩序，並向其整個哲學體系拋出了質疑！
被這個革新式的發現所帶來的影響而震撼到的畢達哥拉斯學派學者們決定不要將其告訴任何人。據說，他們還把揭開這個奧祕的人——希帕索斯——給淹死了。
無窮
無理數的發現把古希臘人領向了新的一個發現，它更爲震懾人心，那就是：無窮！因爲無理數的特徵就是具有無窮數量的十進制數位，於是古希臘人當時必須構思出一個合理的解釋來說明怎樣創造無窮數量的數。即使是在現如今無窮的概念都很難去理解，更不用說在當時那個宗教與科學緊密相連的時代，而且數學裏的信仰不能挑戰對上帝的認知。
無限大的符號是1655年由英國數學家約翰·沃利斯開始使用
所以，古希臘人是怎麼做的呢？像亞里士多德和柏拉圖這樣的哲學家，他們反對絕對的無窮這種概念，於是有數學家們就想出了別出心裁的辦法來規避無窮在幾何裏的發展，比如小亞細亞尼多斯的 歐多克索斯，他發明了窮舉法來計算面積。
17世紀牛頓和萊布尼茨通過運用無窮小量(Infinitesimals)來鼓勵重視無窮這個概念，但因不嚴格使用引來一些批評者的攻擊。直到 19 世紀後半葉，才由維爾特拉斯、康托爾和戴德金等人以極限概念爲基礎來解決。
芝諾悖論
當談及哲學推理的時候，古希臘人當然做出了巨大的貢獻。
古希臘人的先輩赫拉克利特斷言世間萬事萬物都在不斷變化，之後，巴門尼德斷言並非如此。因此，運動純粹只是個幻象，於是即便用古希臘人所認爲的描述真理的數學也不太可能。
芝諾，巴門尼德的一位學生，構思出了一系列的悖論，目的是爲了證明運動的無理性。其中最著名的一個，就是“阿喀琉斯與烏龜”：阿喀琉斯在追一隻烏龜，而烏龜則是很緩慢的，但是給定一個條件即這隻烏龜在起跑時領先阿喀琉斯100米。
簡單來講，如果我們假定：這兩個競賽者的速度各自保持恆定，並且阿喀琉斯的速度是烏龜速度的十倍；於是我們可以說：當阿喀琉斯到達烏龜最開始的那個起點（即100米）時，由於烏龜已經向前爬了10米，於是阿喀琉斯還得再跑10米爲了能追上，接着當他到達這一個新起點的時候，烏龜又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向這個1米……
阿喀琉斯悖論(圖自維基)
這道高中數學題，就這樣簡單明瞭，把我們引向了一個如下的悖論：阿喀琉斯永遠也追不上烏龜，無論他有多快。芝諾的這個悖論讓運動聽上去不符合邏輯。
芝諾的悖論被相信存在於形而上學的領域，它困擾了哲學家和數學家很久，但是如今可以用微積分來解釋。而微積分學，這是古希臘人當時沒有掌握的數學工具。
莫比烏斯帶
莫比烏斯環
有趣的莫比烏斯帶，是由德國數學家、天文學家莫比烏斯和約翰·李斯丁在 1858 年獨立發現的。它是一個只有面和一條邊的曲面，常常被用來迷惑數學新生。
其實你也可以簡單地做一個莫比烏斯帶：拿一個紙條，扭一下然後把兩端連接起來。
莫比烏斯帶，作爲第一個不可定向標準範例，也沒有像其他那些發現那樣動搖數學的基礎，它反而是提供了很多實際應用，譬如一種從莫比烏斯帶得到靈感的傳送帶能使用更長的時間，因爲可以更好的利用整個帶子，或者用於製造磁帶，可以承載雙倍的信息量。也啓發了數學家們構想出更多不可定向曲面，譬如克萊因瓶。
它的命名很可能來自於一個雙重巧合：德國數學家菲利克斯·克萊因提出這個概念，起初命名它爲 Kleinsche Fläche”(克萊因平面)，但後者發音與Flasche 很相似，而其發育在德語裏的意思是“瓶”，後被廣爲流傳，最終也沿用了“克萊因瓶”這種叫法。
康托爾的實數集合不可數
解決無窮的難題已經夠困難了，而康托爾在 1874 年證明了實際上有不同的無窮。尤其是證明了實數集合的不可數性，他證明了這個集合比自然數的現存無窮集要大一些。
康托爾的對角線法論證說明存在不可數集，比如底部的序列不會出現在上述序列的無限列表中的任何位置(圖自維基)
1891年，康托爾給出了對角線法，通過一一對應的方法對無限集合的大小進行比較，並將能夠彼此建立一一對應的集合稱爲等勢，即可以被認爲是“一樣大”的。他引入了可數無窮的概念，用來指與自然數集合等勢的集合，並證明了有理數集合是可數無窮，而實數集合不是可數無窮，這表明無窮集合的確存在着不同的大小，他稱與實數等勢（從而不是可數無窮）的集合爲不可數無窮。對角線法是一種如此優雅的證明，後來被用作一種來證明悖論的工具。
羅素悖論
伯特蘭·羅素是一位數學家、哲學家、邏輯學家、歷史學家、作家、社會批評家、政治活動家，以及，在我看來，一位值得學習的人物，能從他身上受到啓發！
1901年，羅素髮現時至當時已是完善建立的康託集合論存在一個有瑕疵的地方，這把他引向了一個矛盾：任給一個性質，滿足該性質的所有集合總可以組成一個集合。但這樣的企圖將導致悖論。
羅素悖論的一個更爲通俗的例子叫作“理髮師悖論”，如下：有一個小城，它有這樣一個規矩：凡是不給自己刮臉的人都要去找理髮師刮臉。很尷尬的問題便是，那麼誰來給理髮師刮臉？
這個發現讓羅素質疑傳統集合論並開創了一個新的集合理論，比之後的策梅洛-弗蘭克爾集合論還要複雜。
哥德爾不完備定理
庫爾特·哥德爾是奧匈帝國的一位邏輯學家、數學家和哲學家。他震撼了19世紀的數學與邏輯學，其最傑出的貢獻是哥德爾不完備定理和連續統假設的相對協調性證明。
Kurt Gödel, 攝於1925(圖自維基)
我們正在討論的二十世紀，人們不僅僅是想知道，而且還想知道有沒有可能去了解並證明一個東西。人類想要了解宇宙，哥德爾在1931年發表了兩個定理，統稱哥德爾不完備定理。
解釋技術細節和接受結論一樣困難，正如哥德爾所證明的那樣，考慮一個相容且完備的系統，比如算術語言，有些命題都是真但無法被證明。哥德爾受到說謊者悖論（“這句話不能被證明”）的啓發，用了一個簡單的描述展示了他定理的正確性。如果爲真，那麼這個命題是真且不能被證；如果爲假，那麼這個命題能被證明，而這又與初始描述“這不能被證”相悖。
這些對數學來說都是壞消息，因爲剝奪了人們對於闡釋絕對真理的原始慾望。同時，希爾伯特式對知識的探求再度席捲而來，用他的話說就是：“我們必須知道，我們將會知道。”
塔斯基不可定義定理
塔斯基受到了哥德爾的啓發，於1936年證明了我們無法在算術系統中定義何謂“算術的真理”。
儘管塔斯基的發現也包含在哥德爾的成果之中，但可以說塔斯基所做的有更深遠的哲學影響力。他成功得出了這樣一個通用的結論，即：世上沒有任何直譯語言足以表達出它本身的語義。這個定理可被推廣成適用於任何足夠強的形式系統，以表明：我們無法在系統中定義何謂“系統標準模型的真理”。
這對一個數學家來說，再企圖尋找”一種元語言去統領一切”是毫無意義的。
停機問題
艾倫·圖靈曾嘗試解決“決策問題”。該問題用簡單的話描述就是：致力於找到一個算法它能夠回答一個命題是真是假。爲了解決這個概念上看似簡單實際卻難以處理的問題，圖靈把它重新闡述爲：是否能判斷任意一個程序是否能在有限的時間之內結束運行。
停機在這裏的意思是不會永無止境的循環下去。但是，當你對這個機器知之甚少的時候，你怎樣證明它的不可行性？於是悖論又來了。
艾倫·圖靈在1936年用對角論證法證明了，不存在解決停機問題的通用算法。這個證明的關鍵在於對計算機和程序的數學定義，這被稱爲圖靈機。停機問題在圖靈機上是不可判定問題。這是最早提出的決定性問題之一。
沒有免費的午餐定理
當我們這篇文章終於愉快地來到了 21 世紀的數學世界時，我們可以看到，數學，它從純數學、從哲思式的數學，有序邁向了應用領域，譬如數據科學、統計學以及最優化。
如果你認爲自己很感興趣優化，你不覺得這會讓你成爲一個完美主義者麼？而完美主義者不正是追尋最優途徑去優化事物麼？
似乎 David Wolpert 和 William Macready 感覺到了這樣的需求並且想出了一個解答。他們1997年發表的“沒有免費午餐定理” 指出的 ：任何兩個優化算法都是等價的，當算法的性能在面向所有可能問題而趨於平均的時候。
這也許會很心傷，但這不代表優化是無謂的。我們只是從來都找不到一個通用的最優方法去實現它。
結語
上面這些就是讓數學感到尷尬大事件，這裏我們說尷尬這個詞，是對絕望、混亂的輕量級描述，而實際上這些紛繁問題都是數學家們經歷過的內心體驗。但無論怎樣，每一次撼動數學的問題也都是對科學向前發展的又一級助推。
數學領域是靠創造維繫發展的，我們有圖靈機，有很炫酷的幾何曲面。最重要是，我們擁有可以反覆檢驗心中的預期以及相應於此去合理運用手頭工具的那種能力。
這些曾充滿質疑的偉大時刻幫助了人們能夠更睿智地繁衍生息與發展。
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豆瓣評分8.9
講述當今頂級數學和物理學界的逸聞趣事
《一個定理的誕生》
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譯者：馬躍，楊苑藝
這本書是暢銷世界的當代數學家傳記，作者維拉尼將以日記形式再現這段研究生涯，揭示一個數學定理的誕生歷程，描繪數學家和科研工作者的真實人生。
參考:
● freecodecamp, http://dwz.win/qQd
● 維基百科
題圖來源：Unsplash by Sergey Zolkin