一些題

Cheat

首先建出sam。
答案顯然具有單調性，考慮二分答案，可以通過dp來check。
令\(f_{i}\)表示當前匹配到第i個字符，最大能夠匹配的字符數。
設二分的值爲\(k\)，一個顯然的暴力是\(f_{i}=max(f_{j}+i-j+1)\)，\(j\)到\(i\)能夠匹配，\(i>=j-k\)。匹配的過程可以在廣義後綴自動機上實現。
但是這個過程複雜度過高，考慮優化。首先可以發現對於某個位置，向前能夠匹配的長度是一定的，可以預處理出來，在後綴自動機上跑，失配跳fa即可實現\(O(n)\)預處理。
再看，這個dp的轉移過程具有單調性，因此可以用單調隊列優化。
\(O(len*loglen)\)
你的名字

首先考慮68分暴力，對詢問串建出sam，能夠預處理出來每個位置能夠貢獻的本質不同子串數。將詢問串放在\(S\)的sam上跑，能夠處理出來每個位置匹配的最長長度，那麼這個位置對於答案的貢獻就是\(len_{x}-max(len_{fa},len_{匹配})\)。
對於任意位置的詢問，與上面的區別是，匹配的過程變得無法繼續了。可以用可持久化線段樹合併預處理出每個sam上每個點的endpos集合，匹配過程中只要判斷當前節點是否存在特定區間的endpos就可以繼續完成匹配。
需要注意的是，在匹配的過程中，不能一旦失配就立刻跳fa，因爲當前匹配長度可能不存在合法的endpos，然而當前節點的另一長度可能合法，因此需要先\(len--\)，直到長度達到父親節點的\(len\)才能跳。匹配仍然是線性的。
DZY Loves Math

化一化式子，發現最後只需要求這個東西：
\[g(x)=\sum\limits_{i|x} f(i)\mu(\frac{x}{i})\]
暴力求似乎(?)過不了，所以我們考慮線篩。
首先只有\(\mu(x)\)只有不含平方因子的時候不爲0，所以\(f(i)=f(x)\)或\(f(i)=f(x)-1\)
考慮分情況討論：
\[\begin{aligned} g(x)&=\sum\limits_{i|x}f(i)\mu(\frac{x}{i})\\ &=f(x)\sum\limits_{i|x且f(i)=f(x)}\mu(\frac{x}{i})+(f(x)-1)\sum\limits_{i|x且f(i)==f(x)-1}\mu(\frac{x}{i})\\ &=f(x)\sum\limits_{i|x}\mu(\frac{x}{i})-\sum\limits_{i|x且f(i)==f(x)-1}\mu(\frac{x}{i})\\ \end{aligned} \]
可以發現，第一項全都是0，因此只需要考慮第二項。
設\(x=\prod p_i^{c_i}\)，將x的所有質因子分爲兩部分，一種是\(c_i=f(x)\)的，其他是另一種。
可以發現，如果存在第二種，那麼由於選第二種質因子時奇偶情況相同，\(g(x)=0\)。
否則第一部分每個質因子的指數都要爲1才能滿足條件，那麼根據第一部分含有的質因子種數即可確定\(g(x)\)的取值。
hdu6363 bookshelf

記兩個結論：
\(gcd(fib_x,fib_y)=fib_{gcd(x,y)}\)
\(gcd(x^i-1,x^j-1)=x^{gcd(i,j)}-1\)
然後可以用擋板法算出貢獻，直接容斥即可。
DZY Loves Math IV
由於n很小，所以我們可以枚舉i，令\(S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{m}{\varphi(ni)}\)
一個結論，當i的質因子集合是j的子集時，有：\(\varphi(ij)=i\varphi(j)\)
考慮\(i=\prod p_i^{c_i}\),\(x=\prod p_i\),\(y=\frac ix\)
\[\begin{aligned} S(i,m)&=y*\sum\limits_{j=1}^{m}{\varphi(xj)}\\ &=y*\sum\limits_{j=1}^{m}\varphi(\frac {x}{gcd(x,j)})*\varphi(j)*gcd(x,j)\\ &=y*\sum\limits_{j=1}^{m}\varphi(\frac {x}{gcd(x,j)})*\varphi(j)*\sum\limits_{k|x且k|j}\varphi(k)\\ &=y*\sum\limits_{j=1}^{m}\varphi(j)\sum\limits_{k|x且k|j}\varphi(\frac {x}{k})\\ &=y*\sum\limits_{j|x}\varphi(\frac xj)\sum\limits_{k=1}^{\lfloor \frac mj \rfloor}\varphi(kj)\\ &=y*\sum\limits_{j|x}\varphi(\frac xj)S(j,\lfloor \frac mj \rfloor )\\ \end{aligned}\]
於是可以遞歸求解。