原文：【Finlayson G D, Drew M S, Lu C. Entropy Minimization for Shadow Removal[J]. International Journal of Computer Vision, 2009, 85(1):35-57.】
【Finlayson G D, Drew M S, Lu C. Intrinsic Images by Entropy Minimization[C]// European Conference on Computer Vision. Springer Berlin Heidelberg, 2004:582-595.】
前面的如何產生一維的invariant image就不再贅述。這篇博客記錄一下該論文中對於重建彩色圖像的方法的學習。
生成一維invariant image是通過將2-d空間中的點投影至矯正角θ對應的直線上去。直線的方向爲e⊥，即e⊥=[cosθ sinxθ]T，則，I=
I = χ1 cos θ + χ2 sinθ。
那麼，如下圖所示
這個I值實際上等於點（x0,y0）到原點的距離（因爲藍色線爲垂直於所有平行線的直線，所以只要平移其至原點即可）。
這邊爲什麼說得到的顏色分佈直線與光照無關，是因爲對於同一個顏色，由於光照不同得到的點分佈的直線，可以將其投影到垂線上，能得到唯一點，這樣的話，說明這條直線爲光照方向。
得到了1D的invariant image之後，即對於一幅圖像，得到了每個顏色在藍色線上的點到原點的距離。這是一個一維的變量。但是在前面已經求出了角度θ。這樣的話就能夠通過一個反變換得到藍色線上每個點的座標，即得到了2D的invariant image。
3D的invariant image表示：
這裏首先要知道，由於在該算法中，首先將三維空間[R,G,B]中的點，通過比值（和log），取到了2D空間，
這邊我之前看的時候，說存在問題是有比值的存在，導致回到3D空間之後也是比值，沒有唯一解。這個理解是錯誤的。在2D空間內得到的值在log下確實是有個通道間的比值，但是，這個比值在通過log的時候可以轉化爲減，然後再逆變換，是可以解決的，所以再反變換回3D的時候，就不存在比值了，得到的是[logR’,logG’,logB’]，這個帶’上標的值即是去萬陰影的值。當然，圖像會因此損失巨大。
不對。重新理一遍。
對於某一個點（R0,G0,B0）,首先通過U矩陣，三維空間上的點均投影到平面（log（R/(RGB)1/3），log（G/(RGB)1/3））上，即此時（已把三維空間RGB轉爲logRGB）變換矩陣U=[2/3 -1/3 -1/3; -1/3 2/3 -1/3]T。
崩潰。這邊的該組內好幾篇文章都寫得比較亂。我自己做實驗，直接有一維的inv恢復到三維的，效果也不好，產生的是視覺效果不好的僞彩色圖像。
關於重建彩色圖像，該組的主要思想是，通過比較原圖（這邊有做過mean-shift的預處理，用於去除噪聲，得到更好更真實的圖像邊緣，通過壓縮噪聲和高頻率出現的紋理）和得到的invariant image（一維的或者三維的，都是無陰影的）的邊緣信息，獲取由陰影造成的邊緣，然後對這些邊緣進行處理，使用雙邊濾波。
大概步驟如下（on the removal of shadows from images文中）：
- 首先對於原圖取log，在log空間觀察數據。對於每一個通道，都可以求出關於座標x和y的導數，即梯度，也就對應於圖像的邊緣信息；
- 有上面得到的一維或三維invariant image，可以得到邊緣的mask，這裏的邊緣已經不包括由於陰影的原因造成的了；
- 比較1和2，log導數圖（1）中存在的，而（2）中不存在的邊緣點的梯度置爲0，表示該點的灰度值沒有發生跳變，即不存在邊緣信息，剩下的邊緣均是由於材料物質的變化造成的；
- 整合邊緣信息，重構彩色圖像。這裏利用了log圖像的拉普拉斯算子（暫時不懂）。
對於（3）中得到的結果，即上面去除邊緣的log梯度圖像再求梯度，得到log圖像的拉普拉斯算子[1]。這些操作貌似就等價於對無陰影影響的log圖像進行拉普拉斯操作[2]，然後再對其進行逆變換，就可以得到無陰影的圖像了（這邊用傅里葉變換啥的解決的）。兩個拉普拉斯操作貌似不一樣，第一個是跟前面得到的陰影邊緣map有關係。
上述爲主要步驟，但是由於圖像邊緣拉普拉斯算子以及陰影邊緣實際上是有寬度的，因此採用了一些方法對上述步驟進行優化。
