求兩個數的最大公約數

附上：最小公倍數=輸入整數的乘積//最大公約數

• 1.窮舉法
  思想：num1,num2的因數全部找到，期中相同的且最大的即爲兩數的最大公因數
  思想改進：直接從num1和num2中較小的數的值開始到1，一個個驗證

  ① i= a(或b)

  ② 若a，b能同時被i整除，則i即爲最大公約數，結束

  ③ i–，再回去執行②

def gcd(a,b):
    #把a,b其中一個爲0考慮進去
    if b == 0:
        return a
    elif a == 0:
        return b
    else:
        for i in range(min(a,b), 0, -1):
            if a % i ==0 and a % i==0:
                return i
print(gcd(1,2),gcd(22,44))

結果：1 22

• 2.1輾轉相處遞歸寫法：
  看思路即可:以下3個思路都對，1，2都有bug，除數爲0，採取3
  遞歸主要注意退出條件
  總結：3就是核心gcd代碼，以後都用它即可。這是歐幾里得式，據說致命缺點只有在很大素數是纔會體現，那時用減法(stein算法)

#1
def gcd2(n1,n2):
    """greatest common divisor function """
    if(n1%n2 == 0):
        return n2
    return gcd(n2,n1%n2)
print(gcd2(44,33)) #44，0

結果：11

#2.
def commonDivisor1(num1,num2):
    if num1 < num2:
        temp = num1
        num1 = num2
        num2 = temp
         
    if  num1%num2 ==0:
        return num2
    else:
        num2 = num1%num2
        return commonDivisor1(num1,num2) #num1改成num2
print(commonDivisor1(44,33)) #44，0

結果：11

#3.寫了辣麼多，其實就搞明白這段即可
def gcd4(a, b):
    if b == 0:return a
    return gcd4(b, a % b)
print(gcd4(0,44))

結果：44

• 3 Stein算法
  描述：歐幾里德算法是計算兩個數最大公約數的傳統算法，無論是理論，還是從效率上都是很好的。但是他有一個致命的缺陷，這個缺陷只有在很大的素數時纔會顯現出來。Stein算法由J.Stein 1961年提出，這個方法也是計算兩個數的最大公約數。和歐幾里德算法不同的是，Stein算法只有整數的移位和加減法，這對於程序設計者是一個福音。
  爲了說明Stein算法的正確性，首先必須注意到以下結論：
  gcd(a, a) = a， 也就是一個數和他自己的公約數是其自身。
  gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)，也就是最大公約數運算和倍乘運算可以交換，特殊的，當k=2時，說明兩個偶數的最大公約數比如能被2整除。

def gcd_Stein(a, b):  
  if a < b:
    a, b = b, a
  if (0 == b):
    return a
  if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:
    return 2 * gcd_Stein(a/2, b/2)
  if a % 2 == 0:
    return gcd_Stein(a / 2, b)
  if b % 2 == 0:
    return gcd_Stein(a, b / 2)
   
  return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2) 
print(gcd_Stein(44,0))

結果 44