【數學模型】商人們怎樣過河？

這篇博文中，同樣是一個很簡單的數學問題，但是解決起來比上一個的問題要複雜一些。在這次模型求解中，我會使用兩種方法，一種是純粹的數學方法，另一種是通過計算機程序來計算，通過計算機求解我們可以求解一些規模更大的問題。由於這篇文章篇幅我預計會比較長，爲了不混淆，上一篇文章《椅子能在不平的地面上放平嗎？》中的延伸問題我會再寫一篇文章單獨解答。

問題引出

問題： 三名商人各帶一個隨從過河，一隻小船隻能容納兩個人，隨從們約定，只要在河的任何一岸，一旦隨從人數多於商人人數就殺人越貨，但是商人們知道了他們的約定，並且如何過河的大權掌握在商人們手中，商人們該採取怎樣的策略才能安全過河呢？

這次的問題是一個很經常遇到的過河問題，其實對於該類問題，我們經過邏輯思考就可以得到答案。但是通過數學模型的建立，我們可以得到一個通用的解答，並且通過計算機的計算我們可以大大擴大問題的規模。

問題分析

因爲這個問題已經理想化了，所以我們無需對模型進行假設，該問題可以看作一個多步決策問題。

每一步，船由此岸劃到彼岸或者由彼岸劃回此岸，都要對船上的人員進行決策（此次渡河船上可以有幾名商人和幾名隨從），在保證安全（兩岸的隨從都不比商人多）的前提下，在有限次的決策中使得所有人都到對岸去。

因此，我們要做的就是要確定每一步的決策，達到渡河的目標。

建立模型

記第 k 次過河前此岸的商人數爲 x_k , 隨從數爲 y_k , k = 1, 2, 3…, x_k ,y_k = 0, 1, 2, 3

定義狀態： 將二維向量 s_k = ( x_k , y_k ) 定義爲狀態

將安全渡河狀態下的狀態集合定義爲允許狀態集合， 記爲

S = {(x,y) | x=0,y=0,1,2,3; x=y=1; x=y=2; x=3,y=0,1,2,3}

記第 k 次渡河船上的商人數爲 u_k ， 隨從數爲 v_k

定義決策： 將二維向量 d_k = (u_k , v_k) 定義爲決策

允許決策集合 記作

D = {(u,v) | 1 ≤ u+v ≤ 2, u,v = 0,1,2}

因爲小船容量爲2，所以船上人員不能超過2，而且至少要有一個人划船，由此得到上式。

由我們定義的狀態 s_k 和決策 d_k ，我們可以發現它們之間是存在聯繫的：

• k 爲奇數是表示船由此岸划向彼岸，k 爲偶數時表示船由彼岸劃回此岸

• 狀態 s_k 是隨着決策 d_k 變化的，規律爲：

s_k+1 = s_k + (-1)^kd_k

我們把上式稱爲狀態轉移律，因此渡河方案可以抽象爲如下的多步決策模型：

求決策 d_k ∈ D(k = 1,2,…,n) , 使狀態 s_k ∈ S 按照轉移率，初始狀態 s₁ = (3,3) 經有限步 n 到達狀態 s_n+1 = (0,0)

到這裏，整個數學模型就已經非常清晰了，接下來要做的就是求解模型得出結果。

求解模型

在這個模型的求解中，我將會使用兩種方法，一種是數學圖解法，用於解決和當前題目一樣的規模比較小的問題，優點是比較簡便，但是對於規模比較大的問題就無能爲力了，比如說有50個商人攜帶50個隨從過河，第二種方法是通過計算機編程，使用程序來解決該問題，即使問題規模增大，我們也可以利用計算機強大的計算能力來解決。

數學圖解法

我們首先在 xOy 平面座標系中畫出如下方格，方格中的點表示狀態 s = (x,y)

起始狀態（下圖綠色點） s₁ = (3,3) , 終止狀態（下圖紅色點） s_n+1 = (0,0)

允許決策 d_k 表示的是在方格中的移動，根據允許決策 d_k 的定義，它每次的移動範圍爲1~2格，並且 k 爲奇數時向左或下方或左下方移動，k 位偶數時向右或上方或右上方移動。

於是，這個問題就變成了，根據允許決策 d_k ，在方格中在狀態（方格點）之間移動，找到一條路徑，使得能從起始狀態（上圖綠色點） s₁ = (3,3) ,到達終止狀態（上圖圖紅色點） s_n+1 = (0,0)

在下圖中，我們給出了一種方案，我們可以很清楚的看到該方案絕對不是最佳方案（渡河次數最少），它只是給出了一種方案，而且我們看來是一種極其不優化的方案，但是可以很清楚地看出圖解法是如何工作的。

根據上圖，我們得出的方案如下：

• d1：兩個隨從劃到對岸
• d2：一個隨從劃回來
• d3：兩個隨從劃到對岸
• d4：一個隨從劃回來
• d5：兩個商人劃到對岸
• d6：一個商人和一個隨從劃回來
• d7：兩個商人劃到對岸
• d8：一個隨從劃回來
• d9：兩個隨從劃到對岸
• d10：一個商人劃回來
• d11：一個商人和隨從劃到對岸

最終商人們安全渡河

程序求解

我們看到上面介紹的圖解法對於小規模問題很直觀也很簡單，但是無法應對大規模的問題，於是我們採用編程的方法來再次解決上述問題，這次我使用的編程語言爲Python.

創建允許狀態集合

對於允許狀態集合，我們要去使用算法對其進行計算，所謂允許狀態無非就是，河岸兩邊的商人們都是安全的：

• 一種情況是：兩岸的商人人數都比隨從人數多（對於隨從和商人人數相同的情況就是河的任一岸，商人人數等於隨從人數）
• 另一情況爲：所有商人都在河的任何一岸，此時另一岸沒有任何商人，對於隨從的人數在河的任一岸的數量不論是多少，此時都是安全的

按照以上方法編程如下：

'''創建允許狀態集合'''    
def allowset(self):
    allowset = []
    for i in range(self.merchants + 1):
        for j in range(self.servants + 1):
            if i == 0:
                allowset.append([i,j])
            elif i == self.merchants:
                allowset.append([i,j])
            elif (i >= j and ((self.merchants-i) >= (self.servants-j))):
                allowset.append([i,j])
    return allowset

創建允許決策集合

對於創建允許決策集合，它和船的容量是相關的，只要每次渡河的商人數量和隨從數量小於等於船的容量即可，代碼如下：

'''創建允許決策集合'''
def allowaction(self):
    allowactionset = []
    for i in range(self.capacity + 1):
        for j in range(self.capacity + 1):
            if (i+j) <= self.capacity and (i + j) != 0:
                allowactionset.append([i,j])
    return allowactionset

如何渡河

對於如何渡河問題我採取的是一種隨機的方法，對於當前安全狀態，隨機選擇一種決策進行試探，如果採取該決策可以到達安全狀態，則採用，如此循環，直到到達目的地。如果採取該策略不能到達安全狀態，則再次隨機選擇一種策略。

代碼如下：

def solve(self,allowactionset,allowstate):
    count = 1;
    current = (self.merchants,self.servants)
    while current != [0,0]:
        move = allowactionset[random.randint(0,len(allowactionset)-1)]
        temp = [current[0]+((-1)**count)*move[0],current[1]+((-1)**count)*move[1]]
        if(temp in allowstate):
            current = [current[0]+((-1)**count)*move[0],current[1]+((-1)**count)*move[1]]
            if(count % 2 == 1):
                print "[%d]個商人，[%d] 個隨從從此岸劃到對岸" %(move[0],move[1])
            elif(count % 2 == 0):
                print "[%d]個商人，[%d] 個隨從從對岸劃回此岸" %(move[0],move[1]) 
        count = count + 1

完整代碼

有了以上算法之後，我們就可以使用計算機來解決一些較大規模的問題了，完整代碼如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
# Copyright (c) 2015 Jason Luo @ SDU

"""解決商人安全過河問題"""

import random

class Boat(object):
    def __init__(self, merchants, servants, capacity):
        self.merchants = merchants
        self.servants = servants
        self.capacity = capacity

        print "Initialize: [%d] merchants and [%d] servants" %(merchants, servants)

    '''創建允許狀態集合'''    
    def allowset(self):
        allowset = []
        for i in range(self.merchants + 1):
            for j in range(self.servants + 1):
                if i == 0:
                    allowset.append([i,j])
                elif i == self.merchants:
                    allowset.append([i,j])
                elif (i >= j and ((self.merchants-i) >= (self.servants-j))):
                    allowset.append([i,j])
        return allowset

    '''創建允許決策集合'''
    def allowaction(self):
        allowactionset = []
        for i in range(self.capacity + 1):
            for j in range(self.capacity + 1):
                if (i+j) <= self.capacity and (i + j) != 0:
                    allowactionset.append([i,j])
        return allowactionset

    '''渡河'''
    def solve(self,allowactionset,allowstate):
        count = 1;
        current = (self.merchants,self.servants)
        while current != [0,0]:
            move = allowactionset[random.randint(0,len(allowactionset)-1)]
            temp = [current[0]+((-1)**count)*move[0],current[1]+((-1)**count)*move[1]]
            if(temp in allowstate):
                current = [current[0]+((-1)**count)*move[0],current[1]+((-1)**count)*move[1]]
                if(count % 2 == 1):
                    print "[%d]個商人，[%d] 個隨從從此岸劃到對岸" %(move[0],move[1])
                elif(count % 2 == 0):
                    print "[%d]個商人，[%d] 個隨從從對岸劃回此岸" %(move[0],move[1])

            count = count + 1


'''主方法'''            
def main():
    boat = Boat(3,3,2)
    allowstate = boat.allowset()
    print "允許狀態集合爲："
    print allowstate

    actionset = boat.allowaction()
    print "允許決策集合爲："
    print actionset

    boat.solve(actionset,allowstate)


if __name__ == '__main__':
    main()

運行結果

爲了縮短運行結果的篇幅，我們同樣採取小規模問題來驗證算法的正確性，這裏還是採用原問題規模，運行結果如下：

Initialize: [3] merchants and [3] servants
允許狀態集合爲：
[[0, 0], [0, 1], [0, 2], [0, 3], [1, 1], [2, 2], [3, 0], [3, 1], [3, 2], [3, 3]]
允許決策集合爲：
[[0, 1], [0, 2], [1, 0], [1, 1], [2, 0]]
[1]個商人，[1] 個隨從從此岸劃到對岸
[2]個商人，[0] 個隨從從此岸劃到對岸
[2]個商人，[0] 個隨從從對岸劃回此岸
[2]個商人，[0] 個隨從從此岸劃到對岸
[0]個商人，[2] 個隨從從此岸劃到對岸

算法評價

該算法可以解決問題，但是有很多的不足，首先，由此算法得到的結果是隨機的，它只是一個可行解，並不是最優解，並且其中很可能存在重複的步驟，對於一些超大規模的問題，它會產生許多重複的計算，其中會存在許多重複與環，還有許多可以改進的方法。這裏我提出一種改進方法的思路，留待思考：我們可以藉助圖論中的深度優先算法來改進該問題從而得到最優解。如果不一定需要最優解的話，我們還可以在該算法上應用一個隊列的數據結構，記錄曾經在當前狀態採取的策略，從而避免採取重複決策。

參考資料

• 數學模型(第4版) - 姜啓源 葉金星（編著）

• Python Cookbook(第3版)

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