Coursera吳恩達《卷積神經網絡》課程筆記（1）-- 卷積神經網絡基礎

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《Convolutional Neural Networks》是Andrw Ng深度學習專項課程中的第四門課。這門課主要介紹卷積神經網絡（CNN）的基本概念、模型和具體應用。該門課共有4周課時，所以我將分成4次筆記來總結，這是第一節筆記。

1. Computer Vision

機器視覺（Computer Vision）是深度學習應用的主要方向之一。一般的CV問題包括以下三類：

• Image Classification

• Object detection

• Neural Style Transfer

下圖展示了一個神經風格轉換（Neural Style Transfer）的例子：

使用傳統神經網絡處理機器視覺的一個主要問題是輸入層維度很大。例如一張64x64x3的圖片，神經網絡輸入層的維度爲12288。如果圖片尺寸較大，例如一張1000x1000x3的圖片，神經網絡輸入層的維度將達到3百萬，使得網絡權重W非常龐大。這樣會造成兩個後果，一是神經網絡結構複雜，數據量相對不夠，容易出現過擬合；二是所需內存、計算量較大。解決這一問題的方法就是使用卷積神經網絡（CNN）。

2. Edge Detection Example

對於CV問題，我們在之前的筆記中介紹過，神經網絡由淺層到深層，分別可以檢測出圖片的邊緣特徵 、局部特徵（例如眼睛、鼻子等）、整體面部輪廓。

這一小節我們將介紹如何檢測圖片的邊緣。

最常檢測的圖片邊緣有兩類：一是垂直邊緣（vertical edges），二是水平邊緣（horizontal edges）。

圖片的邊緣檢測可以通過與相應濾波器進行卷積來實現。以垂直邊緣檢測爲例，原始圖片尺寸爲6x6，濾波器filter尺寸爲3x3，卷積後的圖片尺寸爲4x4，得到結果如下：

上圖只顯示了卷積後的第一個值和最後一個值。

順便提一下，∗∗表示卷積操作。python中，卷積用conv_forward()表示；tensorflow中，卷積用tf.nn.conv2d()表示；keras中，卷積用Conv2D()表示。

Vertical edge detection能夠檢測圖片的垂直方向邊緣。下圖對應一個垂直邊緣檢測的例子：

3. More Edge Detection

圖片邊緣有兩種漸變方式，一種是由明變暗，另一種是由暗變明。以垂直邊緣檢測爲例，下圖展示了兩種方式的區別。實際應用中，這兩種漸變方式並不影響邊緣檢測結果，可以對輸出圖片取絕對值操作，得到同樣的結果。

垂直邊緣檢測和水平邊緣檢測的濾波器算子如下所示：

下圖展示一個水平邊緣檢測的例子：

除了上面提到的這種簡單的Vertical、Horizontal濾波器之外，還有其它常用的filters，例如Sobel filter和Scharr filter。這兩種濾波器的特點是增加圖片中心區域的權重。

上圖展示的是垂直邊緣檢測算子，水平邊緣檢測算子只需將上圖順時針翻轉90度即可。

在深度學習中，如果我們想檢測圖片的各種邊緣特徵，而不僅限於垂直邊緣和水平邊緣，那麼filter的數值一般需要通過模型訓練得到，類似於標準神經網絡中的權重W一樣由梯度下降算法反覆迭代求得。CNN的主要目的就是計算出這些filter的數值。確定得到了這些filter後，CNN淺層網絡也就實現了對圖片所有邊緣特徵的檢測。

4. Padding

按照我們上面講的圖片卷積，如果原始圖片尺寸爲n x n，filter尺寸爲f x f，則卷積後的圖片尺寸爲(n-f+1) x (n-f+1)，注意f一般爲奇數。這樣會帶來兩個問題：

• 卷積運算後，輸出圖片尺寸縮小

• 原始圖片邊緣信息對輸出貢獻得少，輸出圖片丟失邊緣信息

爲了解決圖片縮小的問題，可以使用padding方法，即把原始圖片尺寸進行擴展，擴展區域補零，用p來表示每個方向擴展的寬度。

經過padding之後，原始圖片尺寸爲(n+2p) x (n+2p)，filter尺寸爲f x f，則卷積後的圖片尺寸爲(n+2p-f+1) x (n+2p-f+1)。若要保證卷積前後圖片尺寸不變，則p應滿足：

p=f−12p=f−12

沒有padding操作，p=0p=0，我們稱之爲“Valid convolutions”；有padding操作，p=f−12p=f−12，我們稱之爲“Same convolutions”。

5. Strided Convolutions

Stride表示filter在原圖片中水平方向和垂直方向每次的步進長度。之前我們默認stride=1。若stride=2，則表示filter每次步進長度爲2，即隔一點移動一次。

我們用s表示stride長度，p表示padding長度，如果原始圖片尺寸爲n x n，filter尺寸爲f x f，則卷積後的圖片尺寸爲：

⌊n+2p−fs+1⌋ X ⌊n+2p−fs+1⌋⌊n+2p−fs+1⌋ X ⌊n+2p−fs+1⌋

上式中，⌊⋯⌋⌊⋯⌋表示向下取整。

值得一提的是，相關係數（cross-correlations）與卷積（convolutions）之間是有區別的。實際上，真正的卷積運算會先將filter繞其中心旋轉180度，然後再將旋轉後的filter在原始圖片上進行滑動計算。filter旋轉如下所示：

比較而言，相關係數的計算過程則不會對filter進行旋轉，而是直接在原始圖片上進行滑動計算。

其實，目前爲止我們介紹的CNN卷積實際上計算的是相關係數，而不是數學意義上的卷積。但是，爲了簡化計算，我們一般把CNN中的這種“相關係數”就稱作卷積運算。之所以可以這麼等效，是因爲濾波器算子一般是水平或垂直對稱的，180度旋轉影響不大；而且最終濾波器算子需要通過CNN網絡梯度下降算法計算得到，旋轉部分可以看作是包含在CNN模型算法中。總的來說，忽略旋轉運算可以大大提高CNN網絡運算速度，而且不影響模型性能。

卷積運算服從結合律：

(A∗B)∗C=A∗(B∗C)(A∗B)∗C=A∗(B∗C)

6. Convolutions Over Volume

對於3通道的RGB圖片，其對應的濾波器算子同樣也是3通道的。例如一個圖片是6 x 6 x 3，分別表示圖片的高度（height）、寬度（weight）和通道（#channel）。

3通道圖片的卷積運算與單通道圖片的卷積運算基本一致。過程是將每個單通道（R，G，B）與對應的filter進行卷積運算求和，然後再將3通道的和相加，得到輸出圖片的一個像素值。

不同通道的濾波算子可以不相同。例如R通道filter實現垂直邊緣檢測，G和B通道不進行邊緣檢測，全部置零，或者將R，G，B三通道filter全部設置爲水平邊緣檢測。

爲了進行多個卷積運算，實現更多邊緣檢測，可以增加更多的濾波器組。例如設置第一個濾波器組實現垂直邊緣檢測，第二個濾波器組實現水平邊緣檢測。這樣，不同濾波器組卷積得到不同的輸出，個數由濾波器組決定。

若輸入圖片的尺寸爲n x n x ncnc，filter尺寸爲f x f x ncnc，則卷積後的圖片尺寸爲(n-f+1) x (n-f+1) x n′cnc′。其中，ncnc爲圖片通道數目，n′cnc′爲濾波器組個數。

7. One Layer of a Convolutional Network

卷積神經網絡的單層結構如下所示：

相比之前的卷積過程，CNN的單層結構多了激活函數ReLU和偏移量b。整個過程與標準的神經網絡單層結構非常類似：

Z[l]=W[l]A[l−1]+bZ[l]=W[l]A[l−1]+b

A[l]=g[l](Z[l])A[l]=g[l](Z[l])

卷積運算對應着上式中的乘積運算，濾波器組數值對應着權重W[l]W[l]，所選的激活函數爲ReLU。

我們來計算一下上圖中參數的數目：每個濾波器組有3x3x3=27個參數，還有1個偏移量b，則每個濾波器組有27+1=28個參數，兩個濾波器組總共包含28x2=56個參數。我們發現，選定濾波器組後，參數數目與輸入圖片尺寸無關。所以，就不存在由於圖片尺寸過大，造成參數過多的情況。例如一張1000x1000x3的圖片，標準神經網絡輸入層的維度將達到3百萬，而在CNN中，參數數目只由濾波器組決定，數目相對來說要少得多，這是CNN的優勢之一。

最後，我們總結一下CNN單層結構的所有標記符號，設層數爲ll。

• f[l]f[l] = filter size

• p[l]p[l] = padding

• s[l]s[l] = stride

• n[l]cnc[l] = number of filters

輸入維度爲：n[l−1]HnH[l−1] x n[l−1]WnW[l−1] x n[l−1]cnc[l−1]

每個濾波器組維度爲：f[l]f[l] x f[l]f[l] x n[l−1]cnc[l−1]

權重維度爲：f[l]f[l] x f[l]f[l] x n[l−1]cnc[l−1] x n[l]cnc[l]

偏置維度爲：1 x 1 x 1 x n[l]cnc[l]

輸出維度爲：n[l]HnH[l] x n[l]WnW[l] x n[l]cnc[l]

其中，

n[l]H=⌊n[l−1]H+2p[l]−f[l]s[l]+1⌋nH[l]=⌊nH[l−1]+2p[l]−f[l]s[l]+1⌋

n[l]W=⌊n[l−1]W+2p[l]−f[l]s[l]+1⌋nW[l]=⌊nW[l−1]+2p[l]−f[l]s[l]+1⌋

如果有m個樣本，進行向量化運算，相應的輸出維度爲：m x n[l]HnH[l] x n[l]WnW[l] x n[l]cnc[l]

8. Simple Convolutional Network Example

下面介紹一個簡單的CNN網絡模型：

該CNN模型各層結構如上圖所示。需要注意的是，a[3]a[3]的維度是7 x 7 x 40，將a[3]a[3]排列成1列，維度爲1960 x 1，然後連接最後一級輸出層。輸出層可以是一個神經元，即二元分類（logistic）；也可以是多個神經元，即多元分類（softmax）。最後得到預測輸出y^y^。

值得一提的是，隨着CNN層數增加，n[l]HnH[l]和n[l]WnW[l]一般逐漸減小，而n[l]cnc[l]一般逐漸增大。

CNN有三種類型的layer：

• Convolution層（CONV）

• Pooling層（POOL）

• Fully connected層（FC）

CONV最爲常見也最重要，關於POOL和FC我們之後再介紹。

9. Pooling Layers

Pooling layers是CNN中用來減小尺寸，提高運算速度的，同樣能減小noise影響，讓各特徵更具有健壯性。

Pooling layers的做法比convolution layers簡單許多，沒有卷積運算，僅僅是在濾波器算子滑動區域內取最大值，即max pooling，這是最常用的做法。注意，超參數p很少在pooling layers中使用。

Max pooling的好處是隻保留區域內的最大值（特徵），忽略其它值，降低noise影響，提高模型健壯性。而且，max pooling需要的超參數僅爲濾波器尺寸f和濾波器步進長度s，沒有其他參數需要模型訓練得到，計算量很小。

如果是多個通道，那麼就每個通道單獨進行max pooling操作。

除了max pooling之外，還有一種做法：average pooling。顧名思義，average pooling就是在濾波器算子滑動區域計算平均值。

實際應用中，max pooling比average pooling更爲常用。

10. CNN Example

下面介紹一個簡單的數字識別的CNN例子：

圖中，CON層後面緊接一個POOL層，CONV1和POOL1構成第一層，CONV2和POOL2構成第二層。特別注意的是FC3和FC4爲全連接層FC，它跟標準的神經網絡結構一致。最後的輸出層（softmax）由10個神經元構成。

整個網絡各層的尺寸和參數如下表格所示：

11. Why Convolutions

相比標準神經網絡，CNN的優勢之一就是參數數目要少得多。參數數目少的原因有兩個：

• 參數共享：一個特徵檢測器（例如垂直邊緣檢測）對圖片某塊區域有用，同時也可能作用在圖片其它區域。

• 連接的稀疏性：因爲濾波器算子尺寸限制，每一層的每個輸出只與輸入部分區域內有關。

除此之外，由於CNN參數數目較小，所需的訓練樣本就相對較少，從而一定程度上不容易發生過擬合現象。而且，CNN比較擅長捕捉區域位置偏移。也就是說CNN進行物體檢測時，不太受物體所處圖片位置的影響，增加檢測的準確性和系統的健壯性。

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