主要介紹MP(Matching Pursuits)算法和OMP(Orthogonal Matching Pursuit)算法[1]，這兩個算法雖然在90年代初就提出來了，但作爲經典的算法，國內文獻(可能有我沒有搜索到)都僅描述了算法步驟和簡單的應用，並未對其進行詳盡的分析，國外的文獻還是分析的很透徹，所以我結合自己的理解，來分析一下寫到博客裏，算作筆記。
1. 信號的稀疏表示(sparse representation of signals)
給定一個過完備字典矩陣
，其中它的每列表示一種原型信號的原子。給定一個信號y，它可以被表示成這些原子的稀疏線性組合。信號 y 可以被表達爲 y = Dx ，或者
。
字典矩陣中所謂過完備性，指的是原子的個數遠遠大於信號y的長度(其長度很顯然是n)，即n<<k。
2.MP算法(匹配追蹤算法)
2.1 算法描述
作爲對信號進行稀疏分解的方法之一，將信號在完備字典庫上進行分解。
假定被表示的信號爲y，其長度爲n。假定H表示Hilbert空間，在這個空間H裏，由一組向量
構成字典矩陣D，其中每個向量可以稱爲原子(atom)，其長度與被表示信號 y 的長度n相同，而且這些向量已作爲歸一化處理，即|
，也就是單位向量長度爲1。MP算法的基本思想：從字典矩陣D（也稱爲過完備原子庫中），選擇一個與信號
y 最匹配的原子(也就是某列)，構建一個稀疏逼近，並求出信號殘差，然後繼續選擇與信號殘差最匹配的原子，反覆迭代，信號y可以由這些原子來線性和，再加上最後的殘差值來表示。很顯然，如果殘差值在可以忽略的範圍內，則信號y就是這些原子的線性組合。如果選擇與信號y最匹配的原子？如何構建稀疏逼近並求殘差？如何進行迭代？我們來詳細介紹使用MP進行信號分解的步驟：[1] 計算信號 y 與字典矩陣中每列(原子)的內積，選擇絕對值最大的一個原子，它就是與信號 y 在本次迭代運算中最匹配的。用專業術語來描述：令信號
，從字典矩陣中選擇一個最爲匹配的原子，滿足
，r0
表示一個字典矩陣的列索引。這樣，信號 y 就被分解爲在最匹配原子
的垂直投影分量和殘值兩部分，即：
。[2]對殘值R1f進行步驟[1]同樣的分解，那麼第K步可以得到：
， 其中
滿足
。可見，經過K步分解後，信號
y 被分解爲：
，其中
。
2.2 繼續討論
(1)爲什麼要假定在Hilbert空間中？Hilbert空間就是定義了完備的內積空。很顯然，MP中的計算使用向量的內積運算，所以在在Hilbert空間中進行信號分解理所當然了。什麼是完備的內積空間？篇幅有限就請自己搜索一下吧。
(2)爲什麼原子要事先被歸一化處理了，即上面的描述。內積常用於計算一個矢量在一個方向上的投影長度，這時方向的矢量必須是單位矢量。MP中選擇最匹配的原子是，是選擇內積最大的一個，也就是信號(或是殘值)在原子(單位的)垂直投影長度最長的一個，比如第一次分解過程中，投影長度就是
。，三個向量，構成一個三角形，且
和
正交（不能說垂直，但是可以想象二維空間這兩個矢量是垂直的）。
(3)MP算法是收斂的，因爲，
和正交，由這兩個可以得出
，得出每一個殘值比上一次的小，故而收斂。
2.3 MP算法的缺點
如上所述，如果信號(殘值)在已選擇的原子進行垂直投影是非正交性的，這會使得每次迭代的結果並不少最優的而是次最優的，收斂需要很多次迭代。舉個例子說明一下：在二維空間上，有一個信號 y 被 D=[x1, x2]來表達，MP算法迭代會發現總是在x1和x2上反覆迭代，即
，這個就是信號(殘值)在已選擇的原子進行垂直投影的非正交性導致的。再用嚴謹的方式描述[1]可能容易理解:在Hilbert空間H中，，，定義
，就是它是這些向量的張成中的一個，MP構造一種表達形式：
;這裏的Pvf表示
f在V上的一個正交投影操作，那麼MP算法的第 k 次迭代的結果可以表示如下(前面描述時信號爲y，這裏變成f了，請注意)：
如果 
是最優的k項近似值，當且僅當
。由於MP僅能保證
，所以一般情況下是次優的。這是什麼意思呢？是k個項的線性表示，這個組合的值作爲近似值，只有在第k個殘差和正交，纔是最優的。如果第k個殘值與正交，意味這個殘值與fk的任意一項都線性無關，那麼第k個殘值在後面的分解過程中，不可能出現fk中已經出現的項，這纔是最優的。而一般情況下，不能滿足這個條件，MP一般只能滿足第k個殘差和xk正交，這也就是前面爲什麼提到“信號(殘值)在已選擇的原子進行垂直投影是非正交性的”的原因。如果第k個殘差和fk不正交，那麼後面的迭代還會出現fk中已經出現的項，很顯然fk就不是最優的，這也就是爲什麼說MP收斂就需要更多次迭代的原因。不是說MP一定得到不到最優解，而且其前面描述的特性導致一般得到不到最優解而是次優解。那麼，有沒有辦法讓第k個殘差與正交，方法是有的，這就是下面要談到的OMP算法。
3.OMP算法
3.1 算法描述
OMP算法的改進之處在於：在分解的每一步對所選擇的全部原子進行正交化處理，這使得在精度要求相同的情況下，OMP算法的收斂速度更快。
那麼在每一步中如何對所選擇的全部原子進行正交化處理呢？在正式描述OMP算法前，先看一點基礎思想。
先看一個 k 階模型，表示信號 f 經過 k 步分解後的情況，似乎很眼熟，但要注意它與MP算法不同之處，它的殘值與前面每個分量正交，這就是爲什麼這個算法多了一個正交的原因，MP中僅與最近選出的的那一項正交。
(1)
k + 1 階模型如下：
(2)
應用 k + 1階模型減去k 階模型，得到如下：
(3)
我們知道，字典矩陣D的原子是非正交的，引入一個輔助模型，它是表示
對前k個項
的依賴，描述如下：
(4)
和前面描述類似，在span(x1, ...xk)之一上的正交投影操作，後面的項是殘值。這個關係用數學符號描述：
請注意，這裏的 a 和 b 的上標表示第 k 步時的取值。
將(4)帶入(3)中，有：
（5）
如果一下兩個式子成立，(5)必然成立。
(6)
(7)
令
，有
其中
。
ak的值是由求法很簡單，通過對(7)左右兩邊添加作內積消減得到：
後邊的第二項因爲它們正交，所以爲0，所以可以得出ak的第一部分。對於
，在（4）左右兩邊中與
作內積，可以得到ak的第二部分。
對於(4)，可以求出
，求的步驟請參見參考文件的計算細節部分。爲什麼這裏不提，因爲後面會介紹更簡單的方法來計算。
3.2 收斂性證明
通過(7)，由於與
正交，將兩個殘值移到右邊後求二範的平方，並將ak的值代入可以得到：
可見每一次殘差比上一次殘差小，可見是收斂的。
3.3 算法步驟
整個OMP算法的步驟如下：
由於有了上面的來龍去脈，這個算法就相當好理解了。
到這裏還不算完，後來OMP的迭代運算用另外一種方法可以計算得知，有位同學的論文[2]描述就非常好，我就直接引用進來：
對比中英文描述，本質都是一樣，只是有細微的差別。這裏順便貼出網一哥們寫的OMP算法的代碼，源出處不得而知，共享給大家。
再貼另外一個洋牛paper[3]中關於OMP的描述，之所以引入，是因爲它描述的非常嚴謹，但是也有點苦澀難懂，不過有了上面的基礎，就容易多了。
它的描述中的Sweep步驟就是尋找與當前殘差最大的內積時列在字典矩陣D中的索引，它的這個步驟描述說明爲什麼要選擇內積最大的以及如何選擇。見下圖，說的非常清晰。
它的算法步驟Update Provisional Solution中求
很簡單，就是在 b = Ax 已知 A和b求x， 在x的最小二範就是A的僞逆與b相乘，即：
看上去頭疼，其實用matlab非常簡單，看看上面的matlab的代碼就明白了。
我們可以看得出來，算法流程清晰明瞭，還是很好理解的。這正是OMP算法的魅力，作爲工具使用簡單，背後卻隱藏着很有趣的思想。寫這篇博客的目的，是因爲搜索了一下，MP和OMP沒有人很詳細的介紹。文獻[1]講的很清楚的，大家有興趣可以找來看看。不要被老闆發現我居然在搜中文文獻還寫中文博客。
參考文獻：
[1] Orthogonal Matching Pursuit:Recursive Function Approximat ion with Applications to Wavelet Decomposition
[2]http://wenku.baidu.com/view/22f3171614791711cc7917e4.html
[3] From Sparse Solutions of Systems of Equations to Sparse Modeling of Signals and Images
