數據結構-樹

二叉樹

1. 每個結點最多有兩顆子樹，結點的度最大爲2
2. 左子樹和右子樹是有順序的，次序不能顛倒
3. 節點數爲n的樹 深度至多爲n 至少爲log2(n+1)向下取整
4. 對於任何一棵非空的二叉樹,如果葉節點個數爲n0，度數爲2的節點個數爲n2，則有: n0 = n2 + 1

存儲二叉樹結構的方法一般有三種，數組、鏈表、遊標

滿二叉樹

高度爲h的滿二叉樹擁有剛剛好(2^h+1 )-1個節點

完全二叉樹

若二叉樹高度爲h，除h層外其他所有層節點個數都達到了最大個數。若h層有葉節點，則所有的葉節點從左到右排列。這就是完全二叉樹

1. 具有n的結點的完全二叉樹的深度爲log2n+1.

2. 如果有一顆有n個節點的完全二叉樹的節點按層次序編號，對任一層的節點i（1<=i<=n）有

   • 如果i=1，則節點是二叉樹的根，無雙親，如果i>1，則其雙親節點爲[i/2]，向下取整
   • 如果2i>n那麼節點i沒有左孩子，否則其左孩子爲2i
   • 如果2i+1>n那麼節點沒有右孩子，否則右孩子爲2i+1

   tips: 編號後，左子節點的編號是父節點編號的兩倍

   參考

二叉樹的遍歷

前序遍歷:根—左—右。

• 遞歸實現

• 非遞歸實現

  思路：每次訪問樹的左節點，並將節點入棧。如果左節點爲空，就取棧頂出棧，訪問棧頂節點的右節點，並繼續訪問入棧訪問左節點。代碼如下：

void preOrderTraverse(Tree t) {
    Stack s; 
    Tree tmp = t;
	
    while((tmp != NULL) || !isEmpty(&s)) {
        while(tmp != NULL) {
            Push(&s, tmp);
            visit(&tmp);
            tmp = tmp->lchild;
        }
        if(!isEmpty(&s)) {
            Pop(&s, &tmp);
            tmp = tmp->rchild;
        }
    }
}

中序遍歷: 左-根-右

• 遞歸實現

• 非遞歸實現

  1. 若其左孩子不爲空，則將t入棧，並將t的左孩子設置爲當前的t
  2. 若其左孩子爲空，則取棧頂元素並進行出棧操作，訪問該結點。然後將當前的t置爲棧頂結點的右孩子
  3. 直到t爲空並且棧爲空，則遍歷結束。

void inOrderTraverse(Tree t) {
    Stack s; 
    Tree tmp = t;
	
    while((tmp != NULL) || !isEmpty(&s)) {
        while(tmp != NULL) {
            Push(&s, tmp);
            tmp = tmp->lchild;
        }
        
        if(!isEmpty(&s)) {
            Pop(&s, &tmp);
            visit(&tmp);
            tmp = tmp->rchild;
        }
    }
}

後序遍歷: 左-右-根

• 遞歸實現

• 非遞歸實現

  確保在訪問父節點之前左右子節點都已經被訪問。當前節點如果沒有子節點，或者當前節點的子節點都被訪問的時候，可以訪問當前節點。否則將當前節點的子節點入棧。

void postOrderTraverse(Tree t) {
    Stack s; 
    Tree cur = NULL;
    Tree pre = NULL;

	Push(&s, t);
    while(!isEmpty(&s) {
    	 Top(&s, &cur);
        if((cur->lchild == NULL && cur->rchild == NULL)) ||
        		(cur->lchild == NULL && pre != NULL && pre == cur->rchild) ||
        		(cur->rchild == NULL && pre != NULL && pre == cur->lchild)) {
        		Pop(&s, &cur);
        		visit(cur);
        		pre = cur;		
        } else {
        		if(cur->lchild) {
        			Push(&s, cur->lchild);
        		}
        		if(cur->rchild) {
        			Push(&s, cur->rchild);
        		}
        	}
        }
    }
}

二叉樹的創建

1. 使用訪問序列建立二叉樹，如 先序:ABDCEGFHI 中序:DBAEGCHFI

   tips: 如果僅僅知道二叉樹的先序遍歷和後序遍歷，無法確定二叉樹

2. 使用廣義表來構造，如：A(B(D), C(E( ,G), F(H,I)))

線索樹

n個結點的二叉樹有2n個鏈域，其中真正有用的是n – 1個，其它n + 1個都是空域。 爲了充分利用結點中的空域，使得對某些運算更快，如前驅或後繼等運算。

二叉樹的應用：霍夫曼樹

參考這裏
https://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7341289

主要有兩類：

• 霍夫曼樹構造條件判斷樹，使其比較次數最少
• 霍夫曼編碼