Java 遞歸實現格雷碼(Gray Code)

問題：產生n位元的所有格雷碼。

格雷碼(Gray Code)是一個數列集合，每個數使用二進位來表示，假設使用n位元來表示每個數字，任兩個數之間只有一個位元值不同。

例如以下爲3位元的格雷碼： 000 001 011 010 110 111 101 100 。

如果要產生n位元的格雷碼，那麼格雷碼的個數爲2^n.

假設原始的值從0開始，格雷碼產生的規律是：第一步，改變最右邊的位元值；第二步，改變右起第一個爲1的位元的左邊位元；第三步，第四步重複第一步和第二步，直到所有的格雷碼產生完畢（換句話說，已經走了(2^n) - 1 步）。

用一個例子來說明：

假設產生3位元的格雷碼，原始值位 000

第一步：改變最右邊的位元值： 001

第二步：改變右起第一個爲1的位元的左邊位元： 011

第三步：改變最右邊的位元值： 010

第四步：改變右起第一個爲1的位元的左邊位元： 110

第五步：改變最右邊的位元值： 111

第六步：改變右起第一個爲1的位元的左邊位元： 101

第七步：改變最右邊的位元值： 100

如果按照這個規則來生成格雷碼，是沒有問題的，但是這樣做太複雜了。如果仔細觀察格雷碼的結構，我們會有以下發現：

1、除了最高位（左邊第一位），格雷碼的位元完全上下對稱（看下面列表）。比如第一個格雷碼與最後一個格雷碼對稱（除了第一位），第二個格雷碼與倒數第二個對稱，以此類推。

2、最小的重複單元是 0 , 1。

000
001
011
010
110
111
101
100

所以，在實現的時候，我們完全可以利用遞歸，在每一層前面加上0或者1，然後就可以列出所有的格雷碼。

比如：

第一步：產生 0, 1 兩個字符串。

第二步：在第一步的基礎上，每一個字符串都加上0和1，但是每次只能加一個，所以得做兩次。這樣就變成了 00,01,11,10 （注意對稱）。

第三步：在第二步的基礎上，再給每個字符串都加上0和1，同樣，每次只能加一個，這樣就變成了 000,001,011,010,110,111,101,100。

好了，這樣就把3位元格雷碼生成好了。

如果要生成4位元格雷碼，我們只需要在3位元格雷碼上再加一層0,1就可以了： 0000,0001,0011,0010,0110,0111,0101,0100,1100,1101,1110,1010,0111,1001,1000.

也就是說，n位元格雷碼是基於n-1位元格雷碼產生的。

如果能夠理解上面的部分，下面部分的代碼實現就很容易理解了。

package graycode;

import java.util.Scanner;

public class Solution {
	
    public static String[] GrayCode(int n) {
    	
    	//produce 2^n grade codes
    	String[] graycode = new String[(int) Math.pow(2, n)];
    	if(n == 1) {
    		graycode[0] = "0";
    		graycode[1] = "1";
    		return graycode;
    	}
    	
    	String[] last = GrayCode(n-1);
    	
    	for(int i = 0; i < last.length; i++) {
    		graycode[i] = "0" + last[i];
    		graycode[graycode.length - 1 - i] = "1" + last[i];
    	}
    	
    	return graycode;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
    	Scanner in = new Scanner(System.in);  	
    	int n = in.nextInt(); 
    	in.close();
    	String[] codes = new String[(int) Math.pow(2, n)];
    	codes = GrayCode(n);
    	for (String string : codes) {
			System.out.println(string);
		}
    }
}