樹的直徑
給定一棵樹，樹中每條邊都有一個權值，樹中兩點之間的距離定義爲連接兩點的路徑邊權之和。樹中最遠的兩個節點之間的距離被稱爲樹的直徑，連接這兩點的路徑被稱爲樹的最長鏈。後者通常也可稱爲直徑，即直徑是一個
數值概念，也可代指一條路徑 樹的直徑通常有兩種求法，時間複雜度均爲O(n)。我們假設樹以N個點N-1條邊的無向圖形式給出，並存儲在鄰接表中。
樹形DP求樹的直徑
設1號節點爲根,“N個點N-1條邊的無向圖"就可以看做“有根樹”
設d[x]表示從節點x出發走向以x爲根的子樹，能夠到達的最遠節點的距離。設x的子節點爲y1,y2, y3, …, yt，edge(x, y)表示邊權，顯然有”
d[x] = max{d[yi] + edge(x, yi)}(1 <= i <= t)
接下來，我們可以考慮對每個節點x求出"經過節點x的最長鏈的長度"f[x]，整棵樹的直徑就是max{f[x]}(1 <= x <= n)
對於x的任意兩個節點yi和yj，"經過節點x的最長鏈長度"可以通過四個部分構成：從yi到yi子樹中的最遠距離，邊(x, yi)，邊(x, yj)，從yj到yj子樹中的最遠距離。設j < i，因此：
f[x] = max{d[yi] + d[yj] + edge(x, yi) + edge(x, yj)}(1 <= j < i <= t)
但是我們沒有必要使用兩層循環來枚舉i, j。在計算d[x]的霍城，子節點的循環將要枚舉到i時d[x]恰好就保存了從節點x出發走向“以yj(j < i)爲根的子樹”，能夠到達的最遠節點的距離，這個距離就是max{d[yi] +edge(x, yi)}(1 <= j < i)。所以我們先用d[x] + d[yi] + edge(x, yi)更新f[x]，再用d[yi] + edge(x, yi)更新d[x]即可
void dp(int x) {
v[x] = 1;
for(int i = head[x]; i; i = net[i]) {
int y = ver[i];
if(v[y]) continue;
dp(y);
ans = max(ans, d[x] + d[y] + edge[i]);
d[x] = max(d[x], d[y] + edge[i]);
}
}
兩次BFS（DFS）求樹的直徑
通過兩次BFS或者兩次DFS也可以求樹的直徑，並且更容易計算出直徑上的具體節點
詳細地說，這個做法包含兩步：
1.從任意節點出發，通過BFS和DFS對樹進行一次遍歷，求出與出發點距離最遠的節點記爲p
2.從節點p出發，通過BFS或DFS再進行一次遍歷，求出與p距離最遠的節點，記爲q。
從p到q的路徑就是樹的一條直徑。因爲p一定是直徑的一端，否則總能找到一條更長的鏈，與直徑的定義矛盾。顯然地腦洞一下即可。p爲直徑的一端，那麼自然的，與p最遠的q就是直徑的另一端。
在第2步的遍歷中，可以記錄下來每個點第一次被訪問的前驅節點。最後從q遞歸到p，即可得到直徑的具體方案
DFS求樹的直徑
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100086;
struct picture {
int y, v, net;
int pre;
}e[maxn];
int lin[maxn], len = 0;
int n, m, dis[maxn];
bool vis[maxn];
int start, end;
inline int read() {
int x = 0, y = 1;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) {
if(ch == '-') y = -1;
ch = getchar();
}
while(isdigit(ch)) {
x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
ch = getchar();
}
return x * y;
}
inline void insert(int xx, int yy, int vv) {
e[++len].y = yy;
e[len].v = vv;
e[len].net = lin[xx];
e[len].pre = xx;
lin[xx] = len;
}
void dfs(int st) {
vis[st] = 1;
for(int i = lin[st]; i; i = e[i].net) {
int to = e[i].y;
if(!vis[to]) {
dis[to] = dis[st] + e[i].v;
dfs(to);
}
}
}
int main() {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(dis, 0x3f3f3f, sizeof(dis));
n = read(), m = read();
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
int x, y, v;
x = read(), y = read(), v = read();
insert(x, y, v);
insert(y, x, v);
}
dis[1] = 0;
dfs(1);
int maxx = -1000;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
if(dis[i] > maxx && dis[i] != 1061109567) {
maxx = dis[i];
start = i;
}
cout << maxx << ' ' << start << '\n';
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(dis, 0x3f3f3f,sizeof(dis));
dis[start] = 0;
dfs(start);
maxx = -1000;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
if(dis[i] > maxx && dis[i] != 1061109567) {
maxx = dis[i];
end = i;
}
cout << start << ' ' << maxx << ' ' << end << '\n';
return 0;
}
DFS求樹的直徑
BFS求樹的直徑
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 100086;
const ll inf = 1061109567;
struct picture {
int y, net, v;
int pre;
}e[maxn];
int n, m;
int lin[maxn], len = 0;
int dis[maxn];
int q[maxn], head = 0, tail = 0;
int start, end;
bool vis[maxn];
inline int read() {
int x = 0, y = 1;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) {
if(ch == '-') y = -1;
ch = getchar();
}
while(isdigit(ch)) {
x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
ch = getchar();
}
return x * y;
}
inline void insert(int xx, int yy, int vv) {
e[++len].pre = xx;
e[len].y = yy;
e[len].v = vv;
e[len].net = lin[xx];
lin[xx] = len;
}
inline void bfs(int st) {
head = tail = 0;
vis[st] = 1;
q[++tail] = st;
while(head < tail) {
//cout << head << '\n';
for(int i = lin[q[++head]]; i; i = e[i].net) {
int to = e[i].y;
if(!vis[to]) {
dis[to] = dis[q[head]] + e[i].v;
vis[to] = 1;
q[++tail] = to;
}
}
}
}
int main() {
n = read(), m = read();
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
int x, y, v;
x = read(), y = read(), v = read();
insert(x, y, v);
insert(y, x, v);
}
memset(dis, 0x3f3f3f, sizeof(dis));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
dis[1] = 0;
bfs(1);
int maxx = -1000;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
if(dis[i] > maxx && dis[i] != inf) {
start = i;
maxx = dis[i];
}
cout << maxx << ' ' << start << '\n';
memset(dis, 0x3f3f3f, sizeof(dis));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
dis[start] = 0;
bfs(start);
maxx = -1000;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
if(dis[i] > maxx && dis[i] != inf) {
end = i;
maxx = dis[i];
}
cout << start << ' ' << maxx << ' ' << end << '\n';
return 0;
}
BFS求樹的直徑
