位運算基礎

基礎知識和算法合集：https://blog.csdn.net/GD_ONE/article/details/104061907

1.什麼是位運算

 位運算又稱爲位操作，指的是直接對二進制位進行的一系列操作。

2.位運算有哪些

1. AND( & )
   按位與
   1 & 1 = 1
   1 & 0 = 0
   0 & 0 = 0
   1101 & 1100 = 1100

2. OR( | )
   按位或
   1 | 1 = 1
   1 | 0 = 1
   0 | 0 = 0
   1001 | 1010 = 1011

3. XOR( ^ )
   按位異或
   1 ^ 1 = 0
   0 ^ 0 = 0
   1 ^ 0 = 1
   0 ^ 1 = 1
   1101 ^ 1100 = 0001

4. NOT( ~ )
   取反
   ~1 = 0
   ~0 = 1
   ~0111 = 1000
   另：& | ^ ~ 是c或類c的編程語言中所用的位操作符。 除了~是單目運算符
   其餘的三個都是雙目運算符。

5. 移位運算

   • 左移運算符: <<

     在二進制表示下把數字同時向左移， 低位以0填充， 高位越界後捨棄。

   • 右移運算符: >>
     右移運算又分爲算術右移和邏輯右移。

     • 算術右移：

       在二進制補碼表示下，把數字同時向右移位，高位以符號位填充，低位越界後捨棄。

       對於 n >> 1 在C/C++中相當於 n/2 下取整。

     • 邏輯右移：

       在二進制補碼錶示下把數字同時向右移動，高位以0填充，低位越界後捨棄。

       C++並沒有規定右移的方式，所以編譯器不同，可能實現的方式也不一樣。
       不過說了這麼多，總結下來其實就是:
       00001 << 2 = 00100
       00100 >> 2 = 00001

3.常用的位運算操作

1. (n>>k) &1 取出整數n在二進制表示下的第k位

2. n & ((1 << k) - 1) 取出整數n在二進制表示下的第0~k-1位(後k位)

3. n ^ (1 << k) 把整數n在二進制表示下的第k位取反

4. n | (1 << k) 把整數n在二進制表示下的第k位賦值爲1

5. n & (~(1 << k)) 把整數n在二進制表示下的第k位賦值爲0

6. n ^ (1 << k) = n - (1<<k)

7. 除以2
   a / 2 = a >> 1
   a + b / 2 == a + b >> 1 ( + - 運算的優先級高於 <<, >> )

8. 判斷奇偶
   一個數的二進制數的最低位如果是1 則該數一定是奇數 否則一定是偶數
   所以 用 a & 1 檢測最低爲是否位1

   if(a & 1) cout<<"奇數";
   else cout<<"偶數" 
   

9. 快速冪

10. 狀態壓縮
    以一個二進制數表示一個狀態集合。
    如 n = 1100 S = {2, 3} S表示狀態所有爲1的集合。

11. 成對變換

    當n 爲偶數時 n ^ 1 = n + 1
    當n爲奇數時 n ^ 1 = n - 1
    所以
    (0,1) (2, 3) (4, 5)… 關於 ^1 運算 構成“成對變換”
    這一性質常用於圖論鄰接表中邊集的存儲。在具有無向邊（雙向邊）的圖中把一對正反方向的邊分別存儲在鄰接表數組中的第n和第n+1位置（n爲偶數），就可以通過^1
    的運算獲得與當前邊（x, y） 反向的邊（y, x）的存儲位置。
    摘自<<算法競賽進階指南>>

12. lowbit運算

    lowbit(n) 定義爲非負整數n在二進制表示下"最低爲1及其後邊所有0"構成的數值. 例如 n = 10
    的二進制表示爲(1010)₂, 則lowbit(n) = 2 = (10)₂ .
    lowbit(n) = n & (~n + 1) = n&(-n)
    摘自<<算法競賽進階指南>>