這個網站有一篇文章叫做《虛數的圖解》,將虛數解釋得很簡單。讀後讓人恍然大悟,醍醐灌頂,原來虛數這麼簡單,一點也不奇怪和難懂!
一、什麼是虛數?
首先,假設有一根數軸,上面有兩個反向的點:+1和-1。
這根數軸的正向部分,可以繞原點旋轉。顯然,逆時針旋轉180度,+1就會變成-1。
這相當於兩次逆時針旋轉90度。
因此,我們可以得到下面的關係式:
(+1) * (逆時針旋轉90度) * (逆時針旋轉90度) = (-1)
如果把+1消去,這個式子就變爲:
(逆時針旋轉90度)^2 = (-1)
將"逆時針旋轉90度"記爲 i :
i^2 = (-1)
這個式子很眼熟,它就是虛數的定義公式。
所以,我們可以知道,虛數 i 就是逆時針旋轉90度,i 不是一個數,而是一個旋轉量。
二、複數的定義
既然 i 表示旋轉量,我們就可以用 i ,表示任何實數的旋轉狀態。
將實數軸看作橫軸,虛數軸看作縱軸,就構成了一個二維平面。旋轉到某一個角度的任何正實數,必然唯一對應這個平面中的某個點。
只要確定橫座標和縱座標,比如( 1 , i ),就可以確定某個實數的旋轉量(45度)。
數學家用一種特殊的表示方法,表示這個二維座標:用 + 號把橫座標和縱座標連接起來。比如,把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。這種表示方法就叫做複數(complex number),其中 1 稱爲實數部,i 稱爲虛數部。
爲什麼要把二維座標表示成這樣呢,下一節告訴你原因。
三、虛數的作用:加法
虛數的引入,大大方便了涉及到旋轉的計算。
比如,物理學需要計算"力的合成"。假定一個力是 3 + i ,另一個力是 1 + 3i ,請問它們的合成力是多少?
根據"平行四邊形法則",你馬上得到,合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
這就是虛數加法的物理意義。
四、虛數的作用:乘法
如果涉及到旋轉角度的改變,處理起來更方便。
比如,一條船的航向是 3 + 4i 。
如果該船的航向,逆時針增加45度,請問新航向是多少?
5度的航向就是 1 + i 。計算新航向,只要把這兩個航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了(原因在下一節解釋):
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以,該船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆時針增加90度,就更簡單了。因爲90度的航向就是 i ,所以新航向等於:
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
這就是虛數乘法的物理意義:改變旋轉角度。
五、虛數乘法的數學證明
爲什麼一個複數改變旋轉角度,只要做乘法就可以了?
下面就是它的數學證明,實際上很簡單。
任何複數 a + bi,都可以改寫成旋轉半徑 r 與橫軸夾角 θ 的形式。
假定現有兩個複數 a + bi 和 c + di,可以將它們改寫如下:
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
這兩個複數相乘,( a + bi )( c + di ) 就相當於
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展開後面的乘式,得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
根據三角函數公式,上面的式子就等於
cos(α+β) + isin(α+β)
所以,
( a + bi )( c + di ) = r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
就到這裏,更深入的請參考高等數學及
http://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/