程序員數學(22)–二次函數的圖象與性質

兄弟們，今日頭條搜索三線城市程序員老陳關注我，我將持續不斷推出視頻教程。

定義

形如：
$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$
的函數，叫做二次函數，x是自變量，a、b、c分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數、常數項。

y=ax^2圖象與性質

先看下
$y=x^2$
對應的圖象：

因爲二次函數的形狀，像是拋一個鉛球時空中的軌跡(上面的圖是倒過來的軌跡，想象下)，所以一般二次函數的圖像可稱作拋物線。

從圖中可以看出，y軸是拋物線的對稱軸，拋物線與它的對稱軸的交點(0,0)叫做拋物線的頂點。

然後我們來看下以下幾個函數的圖象：

總結下規律，針對
$y=ax^2$

• a>0時，拋物線開口向上，a越大，拋物線開口越小。這是因爲a越大，增長的越快。
• a<0時，拋物線開口往下，a越小，拋物線開口越小。a爲負值時，x越大，函數值就越小。

y=a(x-h)^2+k圖象和性質

k值對圖象的影響

先來對比下以下幾個函數圖象：

發現，y=a(x-h)^2+k中，當k+1時，圖象向上平移1個單位，k-1時，圖象向下平移一個單位。

h值對圖象的影響

對比圖中幾個函數，看下公式：
$a(x-h)^2+k$
h變化對圖象的影響

可以發現，當h+1時，圖象右移1個單位，h-1時，圖象左移一個單位。

a值對圖象的影響

對比圖中幾個函數，看下公式：
$a(x-h)^2+k$
a變化對圖象的影響

可以看出，a的正負值影響了拋物線的開口方向，a的絕對值影響了拋物線的開口大小。

y=ax^2+bx+c圖象與性質

通過配方法，可以將y=ax^2+bx+c轉換爲：
$y=a{(x+\frac b{2a})}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
所以推出有以下性質：

對稱軸爲：
$x=-\frac b{2a}$
頂點爲
$(-\frac b{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

二次函數與一元二次方程

這個簡單，一元二次方程實際上是二次函數當y=0時的特例。
具體到圖象上，一元二次方程的解就是二次函數與x軸的交點座標值。
如下圖：