程序员数学(22)–二次函数的图象与性质

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定义

形如：
$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$
的函数，叫做二次函数，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

y=ax^2图象与性质

先看下
$y=x^2$
对应的图象：

因为二次函数的形状，像是抛一个铅球时空中的轨迹(上面的图是倒过来的轨迹，想象下)，所以一般二次函数的图像可称作抛物线。

从图中可以看出，y轴是抛物线的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点。

然后我们来看下以下几个函数的图象：

总结下规律，针对
$y=ax^2$

• a>0时，抛物线开口向上，a越大，抛物线开口越小。这是因为a越大，增长的越快。
• a<0时，抛物线开口往下，a越小，抛物线开口越小。a为负值时，x越大，函数值就越小。

y=a(x-h)^2+k图象和性质

k值对图象的影响

先来对比下以下几个函数图象：

发现，y=a(x-h)^2+k中，当k+1时，图象向上平移1个单位，k-1时，图象向下平移一个单位。

h值对图象的影响

对比图中几个函数，看下公式：
$a(x-h)^2+k$
h变化对图象的影响

可以发现，当h+1时，图象右移1个单位，h-1时，图象左移一个单位。

a值对图象的影响

对比图中几个函数，看下公式：
$a(x-h)^2+k$
a变化对图象的影响

可以看出，a的正负值影响了抛物线的开口方向，a的绝对值影响了抛物线的开口大小。

y=ax^2+bx+c图象与性质

通过配方法，可以将y=ax^2+bx+c转换为：
$y=a{(x+\frac b{2a})}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
所以推出有以下性质：

对称轴为：
$x=-\frac b{2a}$
顶点为
$(-\frac b{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

二次函数与一元二次方程

这个简单，一元二次方程实际上是二次函数当y=0时的特例。
具体到图象上，一元二次方程的解就是二次函数与x轴的交点座标值。
如下图：