Eight八位數問題2

通過程序的多次運行計算，發現此題可能有多個解！例如：

2 3 4 1 5 x 7 6 8

發現有以下三個解都符合要求：

ullddrurdllurrdlurd
dlurullddrurdllurdr
ullddrurdllurdruldr

所以大家在做的時候要注意，不一定是你的代碼有問題，而是問題描述時沒有說清楚！

好了，上一文章中重點介紹了該題目基於雙廣的解決方法，在這裏我將繼續介紹基於A*算法，即最優啓發性算法的解法！首先，介紹下A*算法的基本知識。

 

（以下藍色字是來源於：http://dev.gameres.com/Program/Abstract/a8first.htm，本人稍作整理）

A*算法在人工智能中是一種典型的啓發式搜索算法。

 

啓發式搜索就是在狀態空間中的搜索對每一個搜索的位置進行評估，得到最好的位置，再從這個位置進行搜索直到目標。這樣可以省略大量無畏的搜索路徑，提到了效率。在啓發式搜索中，對位置的估價是十分重要的。採用了不同的估價可以有不同的效果。我們先看看估價是如何表示的。

　　啓發中的估價是用估價函數表示的，如：

　　f(n) = g(n) + h(n)

　　其中f(n)是節點n的估價函數，g(n)實在狀態空間中從初始節點到n節點的實際代價，h(n)是從n到目標節點最佳路徑的估計代價。在這裏主要是h(n)體現了搜索的啓發信息，因爲g(n)是已知的。如果說詳細點，g(n)代表了搜索的廣度的優先趨勢。但是當h(n)>>g(n)時，可以省略g(n),而提高效率。

　啓發式搜索其實有很多的算法，比如：局部擇優搜索法、最好優先搜索法等等。當然A*也是。這些算法都使用了啓發函數，但在具體的選取最佳搜索節點時的策略不同。象局部擇優搜索法，就是在搜索的過程中選取“最佳節點”後捨棄其他的兄弟節點，父親節點，而一直得搜索下去。這種搜索的結果很明顯，由於捨棄了其他的節點，可能也把最好的節點都捨棄了，因爲求解的最佳節點只是在該階段的最佳並不一定是全局的最佳。最好優先就聰明多了，他在搜索時，便沒有捨棄節點（除非該節點是死節點），在每一步的估價中都把當前的節點和以前的節點的估價值比較得到一個“最佳的節點”。這樣可以有效的防止“最佳節點”的丟失。那麼A*算法又是一種什麼樣的算法呢？其實A*算法也是一種最好優先的算法。只不過要加上一些約束條件罷了。由於在一些問題求解時，我們希望能夠求解出狀態空間搜索的最短路徑，也就是用最快的方法求解問題，A*就是幹這種事情的！我們先下個定義，如果一個估價函數可以找出最短的路徑，我們稱之爲可採納性。A*算法是一個可採納的最好優先算法。A*算法的估價函數可表示爲：

　　f'(n) = g'(n) + h'(n)

　　這裏，f'(n)是估價函數，g'(n)是起點到終點的最短路徑值，h'(n)是n到目標的最斷路經的啓發值。由於這個f'(n)其實是無法預先知道的，所以我們用前面的估價函數f(n)做近似。g(n)代替g'(n)，但g(n)>=g'(n)纔可（大多數情況下都是滿足的，可以不用考慮），h(n)代替h'(n)，但h(n)<=h'(n)纔可（這一點特別的重要）。可以證明應用這樣的估價函數是可以找到最短路徑的，也就是可採納的。我們說應用這種估價函數的最好優先算法就是A*算法。

    舉一個例子，其實廣度優先算法就是A*算法的特例。其中g(n)是節點所在的層數，h(n)=0，這種h(n)肯定小於h'(n)，所以由前述可知廣度優先算法是一種可採納的。實際也是。當然它是一種最臭的A*算法。

　　再說一個問題，就是有關h(n)啓發函數的信息性。h(n)的信息性通俗點說其實就是在估計一個節點的值時的約束條件，如果信息越多或約束條件越多則排除的節點就越多，估價函數越好或說這個算法越好。這就是爲什麼廣度優先算法的那麼臭的原因了，誰叫它的h(n)=0，一點啓發信息都沒有。但在遊戲開發中由於實時性的問題，h(n)的信息越多，它的計算量就越大，耗費的時間就越多。就應該適當的減小h(n)的信息，即減小約束條件。但算法的準確性就差了，這裏就有一個平衡的問題。

基於上面理論，我用A*算法實現了八位數的求解程序，不過效率不高，用杭電數據要1100MS，還不如雙廣（750MS），可能還需要進一步優化！

參考代碼：

#include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 362880 // 9! #define END_STATE -1 #define NONE_STATE 0 struct node { int v[9]; int pos; int last; int dirflag; bool used; int g; int h; }state[MAX], endNod; int hash[MAX]; int dir[4][2] = {{-1, 0},{1, 0},{0, -1},{0, 1}}; vector <int> open; int gethashno(const node& val) { int sum = 0, n = 1, a, i, j; for(i = 1; i < 9; ++i) { n *= i; a = 0; for(j = 0; j < i; ++j) { if (val.v[i] < val.v[j]) ++a; } sum += a*n; } return sum; } bool init() { int i; char val; for(i = 0; i < 9; ++i) { if (cin>>val) { if (val == 'x') { state[0].v[i] = 0; state[0].pos = i; } else state[0].v[i] = val-'0'; } else return false; } state[0].last = 0; state[0].dirflag = -1; state[0].used = false; state[0].g = 0; state[0].h = 0; for(i = 0; i < 9; ++i) { if (i == 8) { endNod.v[i] = 0; endNod.pos = i; } else endNod.v[i] = i+1; } memset(hash, NONE_STATE, sizeof(hash)); hash[gethashno(endNod)] = END_STATE; open.clear(); return true; } bool inbound(int x, int y) { if (x < 0 || x >= 3) return false; if (y < 0 || y >= 3) return false; return true; } void swap(int& v1, int& v2) { int v = v1; v1 = v2; v2 = v; } bool isok(const node& val) // 當前狀態（除0外）的逆序數爲奇數時，它無法達到目標狀態 { int sum = 0, i, j; for(i = 1; i < 9; ++i) { if (val.v[i] == 0) continue; for(j = 0; j < i; ++j) { if (val.v[j] == 0) continue; if (val.v[i] < val.v[j]) ++sum; } } if (sum % 2 == 0) return true; return false; } int geth(const node& nod) { int rtn = 0, x, y, x1, y1; for (x = 0; x < 3; ++x) { for (y = 0; y < 3; ++y) { if (nod.v[x*3+y] != 0) { x1 = (nod.v[x*3+y]-1)/3; y1 = (nod.v[x*3+y]-1)%3; rtn += abs(x1-x) +abs(y1-y); } } } return rtn; } bool expend(node& subnod, int diri, int par) { int x, y, pos1; x = subnod.pos/3 + dir[diri][0]; y = subnod.pos%3 + dir[diri][1]; if (!inbound(x, y)) return false; pos1 = 3*x+y; swap(subnod.v[subnod.pos], subnod.v[pos1]); subnod.pos = pos1; subnod.dirflag = diri; subnod.used = false; ++subnod.g; subnod.h = geth(subnod); subnod.last = par; return true; } bool equalnode(const node& nod1, const node& nod2) { // if (nod1.pos != nod2.pos) // return false; int i; for (i = 0; i < 9; ++i) { if (nod1.v[i] != nod2.v[i]) return false; } return true; } void printpath(node state[], long tail) { int p[1000], k = 0, i; while (tail > 0) { p[k++] = tail; tail = state[tail].last; } // p[k] = 0; for (i = k-1; i >= 0; --i) { switch (state[p[i]].dirflag) { case 0: cout<<"u"; break; case 1: cout<<"d"; break; case 2: cout<<"l"; break; case 3: cout<<"r"; break; } } cout<<endl; } bool getOpenNode(long n, long& val) { int last = open.size()-1; if (open[last] >= n) return false; val = open[last]; open.erase(open.end()-1); return true; } void insertOpenNode(node state[], long val) { if (open.empty()) { open.push_back(val); return; } vector<int>::iterator it = open.end(); int cost = state[val].g + state[val].h; while (true) { if (--it == open.begin()) { open.insert(it, val); break; } else { if (cost > (state[*it].g+state[*it].h)) continue; open.insert(it+1, val); break; } } } void updateOpenNode(node state[], long val) { vector<int>::iterator it = find(open.begin(), open.end(), val); if (it != open.end()) { open.erase(it); } insertOpenNode(state, val); } void ACalc() { long cur, i, n; long hashno, stateno; node subnod; cur = 0; n = 1; if (equalnode(state[0], endNod)) { cout<<endl; return; } if (!isok(state[0])) { cout<<"unsolvable"<<endl; return; } hash[gethashno(state[0])] = 1; open.push_back(0); while (!open.empty()) { if (!getOpenNode(n, cur)) break; for (i = 0; i < 4; ++i) { subnod = state[cur]; if (expend(subnod, i, cur)) { hashno = gethashno(subnod); stateno = hash[hashno]; if (stateno == END_STATE) { state[++n-1] = subnod; printpath(state, n-1); return; } else if (stateno == NONE_STATE) { state[++n-1] = subnod; hash[hashno] = n; insertOpenNode(state, n-1); } else { if (state[stateno-1].g+state[stateno-1].h > subnod.g+subnod.h) { state[stateno-1] = subnod; updateOpenNode(state, stateno-1); } } } } state[cur].used = true; } cout<<"unsolvable"<<endl; } int main() { while(true) { if (!init()) break; ACalc(); } return 0; }