遞推算法

遞推算法

原創

韦思帆

2020-02-20 21:58

個人理解的遞推思想：通過遞推的條件，從第一層或最後一層將剩餘推導出來，擴展進階開來像是動態規劃。

遞推推算法使用“穩紮穩打”的策略，不斷利用已有的信息推導出新的東西。具體來說有如下兩種：

(1)順推法: 是指從已知條件出發，逐步推算出要解決問題的方法。例如斐波那契數列

就可以通過順推法不斷遞推算後新的數據。

(2) 逆推法: 是從己知的結果出發，用迭代表達式逐步誰算出問題開始的條作，即順推

法的道過程

斐波那契數列 (順推法)

斐波那契數列因是由數學家列昂納多*斐波那契以免子繁殖爲例子而引入的，故又稱爲“ 免子數列”。

一般而言，免子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麼一對兔子一年內能繁殖成多少對兔子?

算法分析: 我們不妨拿新出生的一對小兔子進行如下分析:

(1)第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對；

（2）兩個月後，生下一對小兔，總數共有兩對;

(3) 3 個月以後，老兔子又生下一對，因爲小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是3 對:
....................
依此類推可以得出如下數據:

經過月-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-

免子對數:--1-2--3---5--8--13-21--34--55--88--144--233

每個月所呈現的兔子個數1，2，3,5,8構成了一個數列。這個數列有着十分明顯的特點，即前面相鄰兩項之和構成了後一項。
上述特點的證明。每月的大兔子數爲上月的兔子數，每月的小免了數爲上月的大兔子數，即上上月的兔子數，即每月的兔子數爲上月的兔子數與上上月免子數相加的和。
具體算法:

設置初始值爲F0=1，第一個月兔子的總數是F1=1

第2個月的免子總數是F2=F0+F1；

第3 個月的兔子總數是F3=F1+F2；

第4個月的兔子總數是F4=F2+F3;

.................

第n個月的兔子總數爲Fn=Fn-2+Fn-1;

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#include<stdio.h>  
#define NUM 13  
void main()  
{  
     int i;  
     long fib[NUM]={1,1};  
     for(i=2;i<NUM;i++){  
          fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];    
     }  
     for(i=0;i<NUM;i++){  
          printf("%d月兔子總數:%d\n",i,fib[i]);  
     }  
}  

斐波那契數列（逆推法）
母親爲兒子小Sun的4年大學準備了4年大學準備了一筆存款,方式是整存零取,規定小SUN每月月底取下一個月的生活費1000元。現在假設銀行的年利息爲1.71%，請計算母親最少需要存入多少錢？

算法分析：

可以採用逆推法分析存錢和取錢的過程，因爲按照月爲週期來取錢，所以將4年分爲48個月，並分別對每個月進行計算。

（1) 如果在第48 個月後Sum 大學畢業時連本帶息要取1000元，則要先要求處第47個月時的銀行存款的錢數:
第47 個月月末存款=1000/(1+0.0171/12);

第46 個月末存數=(第47 個月月末存+1000)/(1+0.0171/12);

(2) 依此類推，可以求出第45 個月、第44個月..第1個月的月存款的數值:
第45 個月月末存款=(第46 個月月末存款+1000)/(1+0.0171/12);

第44 個月月末存款=(第45 個月月末存款100)/(1+0.0171/12);
......
第2 個月月末存款=(第3 個月月末存款+1000/(1+0.0171/12)
第1個月月末存款=(第2 個月月術存款+1000)/(1+0.0171/12)

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#include<stdio.h>  
#define FETCH 1000  
#define RATE 0.0171  
void main()  
{  
     double corpus[49];  
     int i;  
     corpus[48]=(double)FETCH;  
     for(i=47;i>0;i--){  
          corpus[i]=(corpus[i+1]+FETCH)/(1+RATE/12);  
     }  
     for(i=48;i>0;i--){  
         printf("第%d月末本利合計:%.2f\n",i,corpus[i]);  
     }  
}  