1、算法概述:
RANSAC算法的基本假設是樣本中包含正確數據(inliers,可以被模型描述的數據),也包含異常數據(outliers,偏離正常範圍很遠、無法適應數學模型的數據),即數據集中含有噪聲。這些異常數據可能是由於錯誤的測量、錯誤的假設、錯誤的計算等產生的。同時RANSAC也假設,給定一組正確的數據,存在可以計算出符合這些數據的模型參數的方法。
2、算法思想描述:
(1)數據由“局內點”組成,例如:數據的分佈可以用一些模型參數來解釋;
(2)“局外點”是不能適應該模型的數據;
(3)除此之外的數據屬於噪聲。
局外點產生的原因有:噪聲的極值;錯誤的測量方法;對數據的錯誤假設。
RANSAC也做了以下假設:給定一組(通常很小的)局內點,存在一個可以估計模型參數的過程;而該模型能夠解釋或者適用於局內點。
參考http://www.cnblogs.com/xrwang/archive/2011/03/09/ransac-1.html
生產實踐中的數據往往會有一定的偏差。例如我們知道兩個變量X與Y之間呈線性關係,Y=aX+b,我們想確定參數a與b的具體值。通過實驗,可以得到一組X與Y的測試值。雖然理論上兩個未知數的方程只需要兩組值即可確認,但由於系統誤差的原因,任意取兩點算出的a與b的值都不盡相同。我們希望的是,最後計算得出的理論模型與測試值的誤差最小。大學的高等數學課程中,詳細闡述了最小二乘法的思想。通過計算最小均方差關於參數a、b的偏導數爲零時的值。事實上,在很多情況下,最小二乘法都是線性迴歸的代名詞。
遺憾的是,最小二乘法只適合與誤差較小的情況。試想一下這種情況,假使需要從一個噪音較大的數據集中提取模型(比方說只有20%的數據時符合模型的)時,最小二乘法就顯得力不從心了。例如下圖,肉眼可以很輕易地看出一條直線(模式),但算法卻找錯了。
RANSAC算法的輸入是一組觀測數據(往往含有較大的噪聲或無效點),一個用於解釋觀測數據的參數化模型以及一些可信的參數。RANSAC通過反覆選擇數據中的一組隨機子集來達成目標。被選取的子集被假設爲局內點,並用下述方法進行驗證:
- 有一個模型適應於假設的局內點,即所有的未知參數都能從假設的局內點計算得出。
- 用1中得到的模型去測試所有的其它數據,如果某個點適用於估計的模型,認爲它也是局內點。
- 如果有足夠多的點被歸類爲假設的局內點,那麼估計的模型就足夠合理。
- 然後,用所有假設的局內點去重新估計模型(譬如使用最小二乘法),因爲它僅僅被初始的假設局內點估計過。
- 最後,通過估計局內點與模型的錯誤率來評估模型。
- 上述過程被重複執行固定的次數,每次產生的模型要麼因爲局內點太少而被捨棄,要麼因爲比現有的模型更好而被選用。
整個過程可參考下圖:
5、算法
輸入:
data —— 一組觀測數據
model —— 適應於數據的模型
n —— 適用於模型的最少數據個數
k —— 算法的迭代次數
t —— 用於決定數據是否適應於模型的閥值
d —— 判定模型是否適用於數據集的數據數目
輸出:
best_model —— 跟數據最匹配的模型參數(如果沒有找到好的模型,返回null)
best_consensus_set —— 估計出模型的數據點
best_error —— 跟數據相關的估計出的模型錯誤
iterations = 0
best_model = null
best_consensus_set = null
best_error = 無窮大
while ( iterations < k )
maybe_inliers = 從數據集中隨機選擇n個點
maybe_model = 適合於maybe_inliers的模型參數
consensus_set = maybe_inliers
for ( 每個數據集中不屬於maybe_inliers的點 )
if ( 如果點適合於maybe_model,且錯誤小於t )
將點添加到consensus_set
if ( consensus_set中的元素數目大於d )
已經找到了好的模型,現在測試該模型到底有多好
better_model = 適合於consensus_set中所有點的模型參數
this_error = better_model究竟如何適合這些點的度量
if ( this_error < best_error )
我們發現了比以前好的模型,保存該模型直到更好的模型出現
best_model = better_model
best_consensus_set = consensus_set
best_error = this_error
增加迭代次數
返回 best_model, best_consensus_set, best_error
RANSAC算法的可能變化包括以下幾種:
(1)如果發現了一種足夠好的模型(該模型有足夠小的錯誤率),則跳出主循環。這樣可能會節約計算額外參數的時間。
(2)直接從maybe_model計算this_error,而不從consensus_set重新估計模型。這樣可能會節約比較兩種模型錯誤的時間,但可能會對噪聲更敏感。
5.2、關於算法的源代碼,Ziv Yaniv曾經寫一個不錯的C++版本,我在關鍵處增補了註釋:
- #include <math.h>
- #include "LineParamEstimator.h"
- LineParamEstimator::LineParamEstimator(double delta) : m_deltaSquared(delta*delta) {}
- void LineParamEstimator::estimate(std::vector<Point2D *> &data,
- std::vector<double> ¶meters)
- {
- parameters.clear();
- if(data.size()<2)
- return;
- double nx = data[1]->y - data[0]->y;
- double ny = data[0]->x - data[1]->x;// 原始直線的斜率爲K,則法線的斜率爲-1/k
- double norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);
- parameters.push_back(nx/norm);
- parameters.push_back(ny/norm);
- parameters.push_back(data[0]->x);
- parameters.push_back(data[0]->y);
- }
- void LineParamEstimator::leastSquaresEstimate(std::vector<Point2D *> &data,
- std::vector<double> ¶meters)
- {
- double meanX, meanY, nx, ny, norm;
- double covMat11, covMat12, covMat21, covMat22; // The entries of the symmetric covarinace matrix
- int i, dataSize = data.size();
- parameters.clear();
- if(data.size()<2)
- return;
- meanX = meanY = 0.0;
- covMat11 = covMat12 = covMat21 = covMat22 = 0;
- for(i=0; i<dataSize; i++) {
- meanX +=data[i]->x;
- meanY +=data[i]->y;
- covMat11 +=data[i]->x * data[i]->x;
- covMat12 +=data[i]->x * data[i]->y;
- covMat22 +=data[i]->y * data[i]->y;
- }
- meanX/=dataSize;
- meanY/=dataSize;
- covMat11 -= dataSize*meanX*meanX;
- covMat12 -= dataSize*meanX*meanY;
- covMat22 -= dataSize*meanY*meanY;
- covMat21 = covMat12;
- if(covMat11<1e-12) {
- nx = 1.0;
- ny = 0.0;
- }
- else { //lamda1 is the largest eigen-value of the covariance matrix
- //and is used to compute the eigne-vector corresponding to the smallest
- //eigenvalue, which isn't computed explicitly.
- double lamda1 = (covMat11 + covMat22 + sqrt((covMat11-covMat22)*(covMat11-covMat22) + 4*covMat12*covMat12)) / 2.0;
- nx = -covMat12;
- ny = lamda1 - covMat22;
- norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);
- nx/=norm;
- ny/=norm;
- }
- parameters.push_back(nx);
- parameters.push_back(ny);
- parameters.push_back(meanX);
- parameters.push_back(meanY);
- }
- bool LineParamEstimator::agree(std::vector<double> ¶meters, Point2D &data)
- {
- double signedDistance = parameters[0]*(data.x-parameters[2]) + parameters[1]*(data.y-parameters[3]);
- return ((signedDistance*signedDistance) < m_deltaSquared);
- }
RANSAC尋找匹配的代碼如下:
- template<class T, class S>
- double Ransac<T,S>::compute(std::vector<S> ¶meters,
- ParameterEsitmator<T,S> *paramEstimator ,
- std::vector<T> &data,
- int numForEstimate)
- {
- std::vector<T *> leastSquaresEstimateData;
- int numDataObjects = data.size();
- int numVotesForBest = -1;
- int *arr = new int[numForEstimate];// numForEstimate表示擬合模型所需要的最少點數,對本例的直線來說,該值爲2
- short *curVotes = new short[numDataObjects]; //one if data[i] agrees with the current model, otherwise zero
- short *bestVotes = new short[numDataObjects]; //one if data[i] agrees with the best model, otherwise zero
- //there are less data objects than the minimum required for an exact fit
- if(numDataObjects < numForEstimate)
- return 0;
- // 計算所有可能的直線,尋找其中誤差最小的解。對於100點的直線擬合來說,大約需要100*99*0.5=4950次運算,複雜度無疑是龐大的。一般採用隨機選取子集的方式。
- computeAllChoices(paramEstimator,data,numForEstimate,
- bestVotes, curVotes, numVotesForBest, 0, data.size(), numForEstimate, 0, arr);
- //compute the least squares estimate using the largest sub set
- for(int j=0; j<numDataObjects; j++) {
- if(bestVotes[j])
- leastSquaresEstimateData.push_back(&(data[j]));
- }
- // 對局內點再次用最小二乘法擬合出模型
- paramEstimator->leastSquaresEstimate(leastSquaresEstimateData,parameters);
- delete [] arr;
- delete [] bestVotes;
- delete [] curVotes;
- return (double)leastSquaresEstimateData.size()/(double)numDataObjects;
- }
在模型確定以及最大迭代次數允許的情況下,RANSAC總是能找到最優解。經過我的實驗,對於包含80%誤差的數據集,RANSAC的效果遠優於直接的最小二乘法。
RANSAC可以用於哪些場景呢?最著名的莫過於圖片的拼接技術。優於鏡頭的限制,往往需要多張照片才能拍下那種巨幅的風景。在多幅圖像合成時,事先會在待合成的圖片中提取一些關鍵的特徵點。計算機視覺的研究表明,不同視角下物體往往可以通過一個透視矩(3X3或2X2)陣的變換而得到。RANSAC被用於擬合這個模型的參數(矩陣各行列的值),由此便可識別出不同照片中的同一物體。可參考下圖:
另外,RANSAC還可以用於圖像搜索時的糾錯與物體識別定位。下圖中,有幾條直線是SIFT匹配算法的誤判,RANSAC有效地將其識別,並將正確的模型(書本)用線框標註出來:
w = 局內點的數目 / 數據集的數目
通常情況下,我們事先並不知道w的值,但是可以給出一些魯棒的值。假設估計模型需要選定n個點,wn是所有n個點均爲局內點的概率;1 − wn是n個點中至少有一個點爲局外點的概率,此時表明我們從數據集中估計出了一個不好的模型。 (1 − wn)k表示算法永遠都不會選擇到n個點均爲局內點的概率,它和1-p相同。因此,
1 − p = (1 − wn)k
我們對上式的兩邊取對數,得出
值得注意的是,這個結果假設n個點都是獨立選擇的;也就是說,某個點被選定之後,它可能會被後續的迭代過程重複選定到。這種方法通常都不合理,由此推導出的k值被看作是選取不重複點的上限。例如,要從上圖中的數據集尋找適合的直線,RANSAC算法通常在每次迭代時選取2個點,計算通過這兩點的直線maybe_model,要求這兩點必須唯一。
爲了得到更可信的參數,標準偏差或它的乘積可以被加到k上。k的標準偏差定義爲:
RANSAC只能從特定的數據集中估計出一個模型,如果存在兩個(或多個)模型,RANSAC不能找到別的模型。