1 簡介

• From MAEG5070 Nonlinear Control System, Prof. Jie Huang
• All contents below are my own understandings.

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線性系統回顧

線性系統模型

• 兩種模型：
  
  • N 階 ODE （常微分方程）或傳遞函數
    
    y(n)+a1y(n−1)+⋯+an−1y^+any=b0u(n)+⋯+bn−1u˙+bnu
    
    or
    Y(S)U(S)=b0Sn+b1Sn−1+⋯+bn−1S+bnSn+a1Sn−1+⋯+an−1S+an
  • 狀態空間方程（State Space equations）
    state equation:
    x˙=Ax+Bu,x(0)=x0
    
    output equation:
    y=Cx+Du
  • 兩種表現形式裏面，狀態空間方程能處理多輸入多輸出(Multiple input-output) 的情況所以更常用。傳遞函數的形式能夠寫成狀態空間的形式，但是狀態空間的形式不一定能寫成傳遞函數的形式

基本控制問題

• stabilization
• Asymptotic Tracking
• Disturbance Rejection / Attention
• Robustness

線性控制方法

• 經典的：Laplace transformation, Bode diagram, Root locus, Nyquist criterion, etc
• 狀態空間的：Pole placement, Observer design, Feedforward design, Internal model design, Optimal control, etc

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Nonlinearity

• 什麼是非線性函數呢，所有不是線性的都是非線性的。: ) 需要注意的是，線性函數一定是通過原點的一條直線，沒有通過原點，那就不是線性的。
• 通過 mass-spring-damper system 和 twin-tunnel diode 的例子引出了非線性系統的表示方式
• 非線性動力系統的一般表現形式：
  
  x˙(t)=f(x(t),t),x(0)=x0
  
  where
  x=⎡⎣⎢⎢⎢x1x2⋯xn⎤⎦⎥⎥⎥,f(x,t)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢f1(x1,⋯,xn,t)⋯⋯fn(x1,⋯,xn,t)⎤⎦⎥⎥⎥⎥
  
  
  • n 是該系統的維度
  • 當 f(x,t)=f(x) ，即跟時間沒有關係的時候，我們有
    x˙(t)=f(x(t))
    稱這種系統叫 自治系統 (autonomous system)
• 非線性控制系統
  
  x˙=f(x,u),y=h(x,u)
  
  where
  x=⎡⎣⎢x1⋯xn⎤⎦⎥∈Rn,u=⎡⎣⎢u1⋯um⎤⎦⎥∈Rm,y=⎡⎣⎢y1⋯yp⎤⎦⎥∈Rp
  
  
  f(x,u)=⎡⎣⎢f1(x,u)⋯fn(x,u)⎤⎦⎥∈Rn,h(x,u)=⎡⎣⎢h1(x,u)⋯hp(x,u)⎤⎦⎥∈Rp
  
  
  • f,h 分別是 x 和 u 的連續函數
  • 注意 輸入 u 的維度和輸出 y 的維度不一定需要是 n ，他們可以是不同的。
  • 很明顯，上式對於線性系統可以看成，f(x,u)=Ax+Bu,h(x,u)=Cx+Du ，這樣根據上式就能得到我們常見的線性系統的狀態空間表示形式啦
• 非線性控制率
  
  u=k(x,t)=⎡⎣⎢k1(x,t)⋯km(x,t)⎤⎦⎥∈Rm
  
  
  • 將以上式子應用在非線性控制上，就能得到一個閉環系統了，形式如下
    
    x˙=f(x,k(x,t))=fc(x,t)
    
    
    y=h(x,k(x,t))=hc(x,t)
• 動力系統的解
  
  • 首先考慮自治系統
    x˙=f(x),x(0)=x0,x∈Rn,f∈C0
  • A C0 time function x(t)∈Rn defined for t∈[0,T),T>0 , is said to be a solution of the above system satisfying the initial condition if
    (i) x(0)=x0
    (ii) dx(t)dt=f(x(t)),0≤t<T (This condition is very important!)
  • Finite escape time 的例子

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Nonlinear System Behaviors

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Nonlinear System Analysis and Design