問題一：一個合法的表達式由()包圍，()可以嵌套和連接，如(())()也是合法 表達式；現在有 6 對()，可以組成的合法表達式的個數是多少？
問題二：在圖書館一共6個人在排隊，3個還《面試寶典》一書，3個在借《面試寶典》一書，圖書館此時沒有了面試寶典了，求他們排隊的總數？
問題三：一個棧(無窮大)的進棧序列爲1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
這幾個都是筆試題，考察的就是catalan數，那麼Catalan數是什麼呢，看一下wikipedia就知道了：
卡塔蘭數是組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭（1814–1894）命名。歷史上，清代數學家明安圖(1692年－1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔蘭數”，遠遠早於卡塔蘭[1][2][3]。有中國學者建議將此數命名爲“明安圖數”或“明安圖-卡塔蘭數”[4]。
表達式：
一般項表達式：(https://img-blog.csdn.net/20150329215506712) 遞推關係：h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ...+ h(n-1)h(1) (其中n>=2) n的catalan數爲：h(n)=C(2n,n)/(n+1)，C(2n,n)表示2n的n個數的組合。 又有h(n) = C(2n, n) - C(2n, n-1);
證明：
以問題一爲例，我們把'('當成1，')'當成0，這樣就轉換成了一個01串，要求爲 對於任一位置，其前面的1的個數不得少於0的個數 。這樣我們就可以把所有的組合數-不符合的組合數，就得到結果了。 那不符合的情況是什麼樣的呢：從左向右掃描，必然會在某一奇數位是0（因爲前面偶數個0和1是符合要求的），然後把這個0以後的所有0換成1，1換成0，當01總數爲2n時，此時有（n+1）個1，（n-1）個0.那麼，當存在上述情況時，就反證了此時存在一個不符合的情況，於是，不符合的組合數爲C(2n, n-1)!所以得出： **h(n) = C(2n, n) - C(2n, n-1)**
結論：不想看上邊亂七八糟的，直接看結論，那就是：***h(n) = C(2n, n) - C(2n, n-1)***，C(2n,n)表示2n的n個數的組合。
第一次寫博客，有不對的地方，歡迎指正。
