相量法與穩態解

簡介

相信大家在學習《電路》這門課程的時候就遇到了神奇的相量法，
自1893年由德國人C.P.施泰因梅茨提出後，這種牛逼的方法就大
受歡迎。本來求解正弦穩態電路的穩態解的時候，需要根據電路
列寫微分方程，然後對微分方程求解。但是使用相量法之後，電
感和電容原件竟然可以像電阻一樣處理計算，可謂是大大簡化了
求解過程。這些都是教科書告訴我們的內容，可是相量法卻有使
用限制：

1. 激勵源必須是正弦信號（當然其他週期信號可以通過傅里葉分
   解得到一系列不同頻率正弦信號的組合）
2. 只能用於線性電路，若電路含有非線性原件就不適用了。

那麼，相量法對正弦穩態電路得到的解就是電路的解嗎？在寫這
篇博文的以前我一直深信不疑，知道遇到了下面的例子。

一個例子

$U_s=sin(t), L=1H, C=1F, R=1\Omega$ 求電容上的電壓 $U_c$

先不理具體參數，使用相量法：
$\dot{U_s}=\frac{\sqrt{2}}{2}\angle0^{\circ}$

$\frac{\dot{U_c}}{\dot{U_s}}=\frac{1}{1-\omega^2 LC+j\omega RC}$

$\dot{U_c}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{(1-\omega^2 LC)^2 + (\omega RC)^2}}\angle arctan(\frac{\omega RC}{1-\omega^2 LC})\times180^{\circ}\div \pi$

帶入參數解得： $\dot{U_c}=\frac{\sqrt{2}}{2}\angle-90^{\circ}$
可知 $U_c=sin(t-90^{\circ})$

然後看圖：

其中Uc0爲仿真得到的 $U_c$ 曲線，Uc1爲計算得到的預期曲線，爲啥一開始他們不是重合的呢？？？原來相量法得到的是穩態解啊！！正因爲如此它才用來求解正弦穩態電路。只要時間夠長，他們（曲線）就會重合的！！

我們對剛剛那組參數求解微分方程：
$U_c=e^{-\frac{t}{2}}(cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)+\frac{\sqrt{3}}{3}sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t))+sin(t-90^{\circ})$
可見使用相量法求解會少了前面的衰減項，導致剛開始曲線不重合，但由於第一項衰減很快，因此曲線很快就重合。那是否能說，相量法求解的就是正弦穩態電路的穩態解呢？是否時間夠長一定能看到曲線重合呢？？

另一個例子

$U_s=sin(t), L=1H, C=1F$ 求電容上的電壓 $U_c$ （去掉電阻）

讓我們首先看一下 $U_c$ 仿真圖：

這下可能我們一下子就明白了，如果電路本身就是不穩定的，那麼相量法自然也得不到穩態解。

$\frac{\dot{U_c}}{\dot{U_s}}=\frac{1}{1-\omega^2 LC}\rightarrow \infty$

從式子我們可以猜測，穩態解爲幅值正無窮，相位不變的正弦波。

求解微分方程：
$U_c=\frac{3sin(t)-sin(3t)}{8}-(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}sin(2t))cos(t)$
可見不穩定的電路還產生了意料之外的2、3次諧波。那是否穩定的（不發散）電路相量法就一定能求到其穩態解，曲線就會重合呢？？

再來一個例子

繼續改變參數：
$U_s=sin(t), L=0.1H, C=1F$ 求電容上的電壓 $U_c$ （去掉電阻）

這次我們認爲結論一定是對的，因此先求解再看仿真：

$\frac{\dot{U_c}}{\dot{U_s}}=\frac{1}{1-\omega^2 LC}=1.11$
$\dot{U_c}=0.785\angle0^{\circ}$
$U_c=1.11sin(t)$

看到這結果可真讓人大跌眼鏡，爲啥得到的 $U_c$ 曲線這麼奇葩。
我們不得不求一下微分方程：

$U_c=\frac{10}{9}sin(t)-\frac{\sqrt{10}}{9}sin(\sqrt{10} t)$

從微分方程解中我們知道，第一項確實是我們用相量法求出的結果，但還有另外一項非整數次諧波的出現，真讓人意外，而這個結果是有界的，也可以說是穩定的吧，但第二項卻並不會衰減，一直隨時間加在第一項上。

結論

1. 查閱百度百科，穩態的解釋爲:在某一輸入信號的作用後，時間趨於無窮大時系統的輸出狀態稱爲穩態。而對於最後一個例子，即便時間趨於無窮大，奇怪的諧波依然會如影隨形，在這個意義上，就不能說相量法求出的是穩態解。
2. 微分方程的解分爲通解和特解，但可以肯定的是，相量法確實求出了微分方程的特解。但特解是否等價與穩態解，這還值得商榷吧？？
3. 那爲什麼很多書都默認了相量法求出的解就是正弦穩態電路的穩態解呢？是因爲在日常生活中，電路不可能沒有電阻。我們在考慮一下相量法適用的條件2（線性電路），線性電路可以使用疊加定理。則考慮： 解=零狀態響應 + 零輸入響應。相量法求出了零狀態響應，但對於零輸入響應，如果電路無耗能原件（如電阻），那麼儘管無激勵源，電路內部的能量也不會消耗，只會在電容電感元件上互相傳遞，因此這一項就永遠不會衰減，然而即便沒有電阻，現實生活中也不可能存在永遠不會衰減這種情況，電容電感本身就會消耗微小能量。
4. 因此，相量法可以求解正弦穩態電路的穩態解還是對的，但是卻絕不能求出暫態解，這卻是很多朋友忽略的。

引用

1. 《電路》 邱關源著。
2. 黨建亮，林愛英，朱連軒，吳麗麗，袁超. 相量法與傅里葉變換的聯繫與區別