排序算法-希爾排序(Shell Sort)

希爾排序法介紹

希爾排序法(Shell Sort)是D.L.Shell於1959年提出的一種排序算法，是直接插入排序法的更高效的改進版。在這之前的排序算法如冒泡排序、簡單選擇排序、直接插入排序等算法的的時間複雜度都爲$O(n^{2})$，而希爾排序突破了這一時間複雜度。
【原理】
直接插入排序算法比冒泡排序和簡單選擇排序性能都要高，尤其在序列基本有序並且記錄數相對較少的情況，只需要簡單的幾個插入動作就能完成排序。

希爾排序的思路就是在插入排序算法的基礎上，創造插入排序算法的有利條件，將序列按照某個增量分成多個子序列進行插入排序，使整個序列變爲基本有序，並且由於按照增量分了子序列，所以每個子序列的記錄數變少了，增量和子序列長度成反比，增量從小於n的某個值每次遞減，子序列隨增量變小而變長。直到增量變爲1，使其所有記錄爲一個整體序列然後進行一次插入排序爲止。

什麼才叫基本有序呢？比如{2,1,4,3,5,6,8,7,9}可以說是基本有序，小的數字基本在序列的前部，不大不小的在中部，大的數字在後部。 {8,7,6,3,9,2,4,5,1}這樣的序列就不是基本有序，因爲1在序列的最後，9在中間，8在第一位，所以談不上是基本有序的。

【例子】
下面看個對關鍵字序列{8,7,1,9,3,6,4,5,2}進行希爾排序的步驟。

希爾排序法算法

public static void shellSort(Integer[] arr) {
    int increment = arr.length;
    do {
        increment = increment / 3 + 1;
        for (int i = increment; i < arr.length; i++) {
            if (arr[i-increment] > arr[i]){
                int minIdx = i;
                int compIdx = minIdx-increment; //需往右邊移動的關鍵字下標
                int minValue = arr[minIdx];
                while (compIdx >= 0 && arr[compIdx] > minValue) { //比較大小
                    arr[minIdx] = arr[compIdx]; //關鍵字右移
                    minIdx = compIdx;
                    compIdx = compIdx - increment;
                }
                arr[minIdx] = minValue; //插入關鍵字
            }
        }
    } while (increment > 1);
}

時間複雜度

希爾排序的時間複雜度依賴增量序列，增量的取值至今還是個難題，大量研究表明，當增量序列爲delta[k]=$2^{t-k+1}$-1(0$\leqslant$k$\leqslant$t$\leqslant \left \lfloor log2(n+1) \right \rfloor$) 時，可以獲得不錯的效率，其時間複雜度爲$O(n^{3/2})$，要好於直接插入排序的$O(n^{2})$。

穩定性

由於按照增量跳躍式分成了子序列插入排序，所以相同值位置可能會被替換，所以希爾排序是不穩定的。

其他排序法的比較

以下分別使用簡單選擇排序法、直接插入排序法和希爾排序法對10萬隨機關鍵字的排序耗時，從結果可以看出直接插入排序的執行時間比簡單選擇排序法快，而希爾排序法比直接插入排序法快了非常多隻用了38ms。

簡單選擇排序執行時間:8077ms
直接插入排序執行時間:4408ms
希爾排序執行時間:38ms