求最大子矩陣的和、求最大子數組的和

有一個正整數和負整數組成的NxN矩陣，請編寫代碼找出元素總和最大的子矩陣。

求一個M*N的矩陣的最大子矩陣和。
比如在如下這個矩陣中：
 0 -2 -7  0
 9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2 
擁有最大和的子矩陣爲：
 9 2
-4 1
-1 8
其和爲15。

思路：

因爲矩陣肯定是對齊的，所以如我們將兩行加起來求最大子數組就可以得到一個行數爲2的子矩陣。所以問題就轉化成了求一個數組的最大子數組和。然後就是枚舉第i行到第j行相加得到的數組了。

首先，這個子矩陣可以是任意大小的，而且起始點也可以在任何地方，所以，要把最大子矩陣找出來，我們要考慮多種情況。

假定原始矩陣的行數爲M，那麼對於子矩陣，它的行數可以是1到M的任何一個數，而且，對於一個K行（K < M）的子矩陣，它的第一行可以是原始矩陣的第1行到 M - K + 1 的任意一行。

例子：

對於上面的矩陣，如果子矩陣的行數是2，那麼它可以是下面幾個矩陣的子矩陣：

 0 -2 -7  0
 9  2 -6  2

或者

 9  2 -6  2
-4  1 -4  1

或者

-4  1 -4  1
-1  8  0 -2 

在每一種情況裏（我們這裏有三種），我們還要找出一個最大的子矩陣，當然，這只是一種情況的最大子矩陣（局部最大），不一定是global最大。但是，如果我們知道每一種情況的最大，要找出global最大，那就小菜一碟兒了。

在講在一個特殊情況下求最大子矩陣之前，先講一個事實：

假設這個最大子矩陣的維數是一維，要找出最大子矩陣, 原理與求“最大子段和問題” 是一樣的。最大子段和問題的遞推公式是 b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]}，b[j] 指的是從0開始到j的最大子段和。

例子：

假設原始矩陣爲：[9，  2， -6，  2]， 那麼b[] = {9, 11, 5, 7}, 那麼最大字段和爲11， 如果找最大子矩陣的話，那麼這個子矩陣是 [9， 2] 

求最大子數組和的代碼如下：

public static int sumOfSubArray(int arr[])//求最大子數組的和
	{
		if(arr.length==0||arr==null)
			return 0;
		int max=Integer.MIN_VALUE;
		int cur=0;
		for(int i=0;i<arr.length;i++)
		{
			cur+=arr[i];
			max=Math.max(max, cur);
			cur=cur<0?0:cur;
		}
		return max;		
	}

但是，原始矩陣可以是二維的。假設原始矩陣是一個3 * n 的矩陣，那麼它的子矩陣可以是 1 * k, 2 * k, 3 * k，（1 <= k <= n）。 如果是1*K，這裏有3種情況：子矩陣在第一行，子矩陣在第二行，子矩陣在第三行。如果是 2 * k，這裏有兩種情況，子矩陣在第一、二行，子矩陣在第二、三行。如果是3 * k，只有一種情況。

爲了能夠找出最大的子矩陣，我們需要考慮所有的情況。假設這個子矩陣是 2 *k, 也就是說它只有兩行，要找出最大子矩陣，我們要從左到右不斷的遍歷才能找出在這種情況下的最大子矩陣。如果我們把這兩行上下相加，情況就和求“最大子段和問題” 又是一樣的了。

爲了找出在原始矩陣裏的最大子矩陣，我們要遍歷所有的子矩陣的可能情況，也就是說，我們要考慮這個子矩陣有可能只有1行，2行，。。。到n行。而在每一種情況下，我們都要把它所對應的矩陣部分上下相加才求最大子矩陣（局部）。

比如，假設子矩陣是一個3*k的矩陣，而且，它的一行是原始矩陣的第二行，那麼，我們就要在

 9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2 

裏找最大的子矩陣。

如果把它上下相加，我們就變成了 4, 11, -10,1， 從這個數列裏可以看出，在這種情況下，最大子矩陣是一個3*2的矩陣，最大和是15.

package test;

import java.util.Scanner;

/** 
* @author xiaohao 	
* @date 創建時間：Aug 11, 2017 10:25:49 AM 
* @version 1.0   
*/
public class SumOfSubMatrix {
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
//		int arr[][]={{1,2,-3},{3,4,-5},{-5,-6,-7}};		
		Scanner sc= new Scanner(System.in);		
		while(sc.hasNext())
		{
			int n= sc.nextInt();
			int arr[][]=new int [n][n];
			for(int i=0;i<n;i++)
			{
				for(int j=0;j<n;j++)
				{
					arr[i][j]=sc.nextInt();
				}
			}			
			System.out.println(sumOfSubMatrix(arr,n));
		}
	}

	public static int sumOfSubMatrix(int a[][],int n)
	{
		int max=Integer.MIN_VALUE;		
		
		//res保存的是從 i 行 到第 j 行 所對應的矩陣上下值的和 
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			int res[]=new int[n];
			for(int j=i;j<n;j++)
			{				
				for(int k=0;k<n;k++)
				{
					res[k]+=a[j][k];
				}
				int maxNum=sumOfSubArray(res);
				if(maxNum>max)
					max=maxNum;
			}
		}
		return max;		
	}
	
	public static int sumOfSubArray(int arr[])
	{
		if(arr.length==0||arr==null)
			return 0;
		int max=Integer.MIN_VALUE;
		int cur=0;
		for(int i=0;i<arr.length;i++)
		{
			cur+=arr[i];
			max=Math.max(max, cur);
			cur=cur<0?0:cur;
		}
		return max;		
	}
}