二叉樹 C 實例代碼

在計算機科學中，二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）。二叉樹常被用於實現二叉查找樹和二叉堆。

二叉樹的每個結點至多隻有二棵子樹(不存在度大於2的結點)，二叉樹的子樹有左右之分，次序不能顛倒。二叉樹的第i層至多有 $2^{i-1}$ 個結點；深度爲k的二叉樹至多有 $2^k-1$ 個結點；對任何一棵二叉樹T，如果其終端結點數爲 $n_0$ ，度爲2的結點數爲 $n_2$ ，則 $n_0=n_2+1$ 。

一棵深度爲k，且有 $2^k-1$ 個節點稱之爲滿二叉樹；深度爲k，有n個節點的二叉樹，當且僅當其每一個節點都與深度爲k的滿二叉樹中，序號爲1至n的節點對應時，稱之爲完全二叉樹。

與樹不同，樹的結點個數至少爲1，而二叉樹的結點個數可以爲0；樹中結點的最大度數沒有限制，而二叉樹結點的最大度數爲2；樹的結點無左、右之分，而二叉樹的結點有左、右之分。

圖論中的定義

二叉樹在圖論中是這樣定義的：二叉樹是一個連通的無環圖，並且每一個頂點的度不大於3。有根二叉樹還要滿足根結點的度不大於2。有了根結點之後，每個頂點定義了唯一的父結點，和最多2個子結點。然而，沒有足夠的信息來區分左結點和右結點。如果不考慮連通性，允許圖中有多個連通分量，這樣的結構叫做森林。

二叉樹(Binary Tree)的類型

二叉樹是一個有根樹，並且每個節點最多有2個子節點。非空的二元樹，若樹葉總數爲 n0，分支度爲2的總數爲 n2，則 n0 = n2 + 1。

一棵深度爲k，且有 $2^k-1$ 個節點的二叉樹，稱爲滿二叉樹（Full Binary Tree）。這種樹的特點是每一層上的節點數都是最大節點數。而在一棵二叉樹中，除最後一層外，若其餘層都是滿的，並且最後一層或者是滿的，或者是在右邊缺少連續若干節點，則此二叉樹爲完全二叉樹（Complete Binary Tree）。具有n個節點的完全二叉樹的深度爲 $log_2n+1$ 。深度爲k的完全二叉樹，至少有 $2^{k-1}$ 個節點，至多有 $2^k-1$ 個節點。

	完全二叉樹	滿二叉樹
總節點k	$2^{h-1}$ <= k < $2^h-1$	k = $2^h-1$
樹高h	h = $log_2k+1$	h = $log_2(k+1)$

存儲二叉樹的方法

二叉鏈表存儲表示

基於鏈表的二叉樹邏輯結構示意

在使用記錄或內存地址指針的編程語言中，二叉樹通常用樹結點結構來存儲。有時也包含指向唯一的父節點的指針。如果一個結點的子結點個數小於2，一些子結點指針可能爲空值，或者爲特殊的哨兵結點。使用鏈表能避免順序儲存浪費空間的問題，算法和結構相對簡單，但使用二叉鏈表，由於缺乏父鏈的指引，在找回父節點時需要重新掃描樹得知父節點的節點地址。

存儲結構

/* 二叉樹的二叉鏈表存儲表示 */
 typedef struct BiTNode
 {
   TElemType data;
   struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指針 */
 }BiTNode,*BiTree;

 /* 二叉樹的二叉鏈表存儲的基本操作(22個) */
 #define ClearBiTree DestroyBiTree /* 清空二叉樹和銷毀二叉樹的操作一樣 */
 #include"func6-3.c"
 /* 包括InitBiTree()、DestroyBiTree()、PreOrderTraverse()和InOrderTraverse()4函數 */

 void CreateBiTree(BiTree *T)
 { /* 算法6.4：按先序次序輸入二叉樹中結點的值(可為字符型或整型，在主程中定義)，*/
   /* 構造二叉鏈表表示的二叉樹T。變量Nil表示空(子)樹。有改動 */
   TElemType ch;
   scanf(form,&ch);
   if(ch==Nil) /* 空 */
     *T=NULL;
   else
   {
     *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); /* 生成根結點 */
     if(!*T)
       exit(OVERFLOW);
     (*T)->data=ch;
     CreateBiTree(&(*T)->lchild); /* 構造左子樹 */
     CreateBiTree(&(*T)->rchild); /* 構造右子樹 */
   }
 }

 Status BiTreeEmpty(BiTree T)
 { /* 初始條件：二叉樹T存在。操作結果：若T為空二叉樹，則返回TRUE，否則FALSE */
   if(T)
     return FALSE;
   else
     return TRUE;
 }

 int BiTreeDepth(BiTree T)
 { /* 初始條件：二叉樹T存在。操作結果：返回T的深度 */
   int i,j;
   if(T==NULL)  /*如果T=NULL,這樣寫便於理解，當然也可以寫成if（!T）*/; 
     return 0; /* 空樹深度為0 */
   if(T->lchild)
     i=BiTreeDepth(T->lchild); /* i為左子樹的深度 */
   else
     i=0;
   if(T->rchild)
     j=BiTreeDepth(T->rchild); /* j為右子樹的深度 */
   else
     j=0;
   return i>j?i+1:j+1; /* T的深度為其左右子樹的深度中的大者+1 */
 }

 TElemType Root(BiTree T)
 { /* 初始條件：二叉樹T存在。操作結果：返回T的根 */
   if(BiTreeEmpty(T))
     return Nil;
   else
     return T->data;
 }

 TElemType Value(BiTree p)
 { /* 初始條件：二叉樹T存在，p指向T中某個結點。操作結果：返回p所指結點的值 */
   return p->data;
 }

 void Assign(BiTree p,TElemType value)
 { /* 給p所指結點賦值為value */
   p->data=value;
 }

 typedef BiTree QElemType; /* 設隊列元素為二叉樹的指針類型 */
 #include"c3-2.h" /* 鏈隊列 */
 #include"bo3-2.c" /* 鏈隊列的基本操作 */
 TElemType Parent(BiTree T,TElemType e)
 { /* 初始條件：二叉樹T存在，e是T中某個結點 */
   /* 操作結果：若e是T的非根結點，則返回它的雙親，否則返回＂空＂*/
   LinkQueue q;
   QElemType a;
   if(T) /* 非空樹 */
   {
     InitQueue(&q); /* 初始化隊列 */
     EnQueue(&q,T); /* 樹根指針入隊 */
     while(!QueueEmpty(q)) /* 隊不空 */
     {
       DeQueue(&q,&a); /* 出隊，隊列元素賦給a */
       if(a->lchild&&a->lchild->data==e||a->rchild&&a->rchild->data==e)
       /* 找到e(是其左或右孩子) */
         return a->data; /* 返回e的雙親的值 */
       else /* 沒找到e，則入隊其左右孩子指針(如果非空) */
       {
         if(a->lchild)
           EnQueue(&q,a->lchild);
         if(a->rchild)
           EnQueue(&q,a->rchild);
       }
     }
   }
   return Nil; /* 樹空或沒找到e */
 }

 BiTree Point(BiTree T,TElemType s)
 { /* 返回二叉樹T中指向元素值為s的結點的指針。另加 */
   LinkQueue q;
   QElemType a;
   if(T) /* 非空樹 */
   {
     InitQueue(&q); /* 初始化隊列 */
     EnQueue(&q,T); /* 根指針入隊 */
     while(!QueueEmpty(q)) /* 隊不空 */
     {
       DeQueue(&q,&a); /* 出隊，隊列元素賦給a */
       if(a->data==s)
         return a;
       if(a->lchild) /* 有左孩子 */
         EnQueue(&q,a->lchild); /* 入隊左孩子 */
       if(a->rchild) /* 有右孩子 */
         EnQueue(&q,a->rchild); /* 入隊右孩子 */
     }
   }
   return NULL;
 }

 TElemType LeftChild(BiTree T,TElemType e)
 { /* 初始條件：二叉樹T存在，e是T中某個結點。操作結果：返回e的左孩子。若e無左孩子,則返回"空" */
   BiTree a;
   if(T) /* 非空樹 */
   {
     a=Point(T,e); /* a是結點e的指針 */
     if(a&&a->lchild) /* T中存在結點e且e存在左孩子 */
       return a->lchild->data; /* 返回e的左孩子的值 */
   }
   return Nil; /* 其餘情況返回空 */
 }

 TElemType RightChild(BiTree T,TElemType e)
 { /* 初始條件：二叉樹T存在，e是T中某個結點。操作結果：返回e的右孩子。若e無右孩子,則返回"空" */
   BiTree a;
   if(T) /* 非空樹 */
   {
     a=Point(T,e); /* a是結點e的指針 */
     if(a&&a->rchild) /* T中存在結點e且e存在右孩子 */
       return a->rchild->data; /* 返回e的右孩子的值 */
   }
   return Nil; /* 其餘情況返回空 */
 }

 TElemType LeftSibling(BiTree T,TElemType e)
 { /* 初始條件：二叉樹T存在，e是T中某個結點 */
   /* 操作結果：返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或無左兄弟，則返回＂空＂*/
   TElemType a;
   BiTree p;
   if(T) /* 非空樹 */
   {
     a=Parent(T,e); /* a為e的雙親 */
     if(a!=Nil) /* 找到e的雙親 */
     {
       p=Point(T,a); /* p為指向結點a的指針 */
       if(p->lchild&&p->rchild&&p->rchild->data==e) /* p存在左右孩子且右孩子是e */
         return p->lchild->data; /* 返回p的左孩子(e的左兄弟) */
     }
   }
   return Nil; /* 其餘情況返回空 */
 }

 TElemType RightSibling(BiTree T,TElemType e)
 { /* 初始條件：二叉樹T存在，e是T中某個結點 */
   /* 操作結果：返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或無右兄弟，則返回＂空＂*/
   TElemType a;
   BiTree p;
   if(T) /* 非空樹 */
   {
     a=Parent(T,e); /* a為e的雙親 */
     if(a!=Nil) /* 找到e的雙親 */
     {
       p=Point(T,a); /* p為指向結點a的指針 */
       if(p->lchild&&p->rchild&&p->lchild->data==e) /* p存在左右孩子且左孩子是e */
         return p->rchild->data; /* 返回p的右孩子(e的右兄弟) */
     }
   }
   return Nil; /* 其餘情況返回空 */
 }

 Status InsertChild(BiTree p,int LR,BiTree c) /* 形參T無用 */
 { /* 初始條件：二叉樹T存在，p指向T中某個結點，LR為0或1，非空二叉樹c與T不相交且右子樹為空 */
   /* 操作結果：根據LR為0或1，插入c為T中p所指結點的左或右子樹。p所指結點的 */
   /*           原有左或右子樹則成為c的右子樹 */
   if(p) /* p不空 */
   {
     if(LR==0)
     {
       c->rchild=p->lchild;
       p->lchild=c;
     }
     else /* LR==1 */
     {
       c->rchild=p->rchild;
       p->rchild=c;
     }
     return OK;
   }
   return ERROR; /* p空 */
 }

 Status DeleteChild(BiTree p,int LR) /* 形參T無用 */
 { /* 初始條件：二叉樹T存在，p指向T中某個結點，LR為0或1 */
   /* 操作結果：根據LR為0或1，刪除T中p所指結點的左或右子樹 */
   if(p) /* p不空 */
   {
     if(LR==0) /* 刪除左子樹 */
       ClearBiTree(&p->lchild);
     else /* 刪除右子樹 */
       ClearBiTree(&p->rchild);
     return OK;
   }
   return ERROR; /* p空 */
 }

 typedef BiTree SElemType; /* 設棧元素為二叉樹的指針類型 */
 #include"c3-1.h" /* 順序棧 */
 #include"bo3-1.c" /* 順序棧的基本操作 */
 void InOrderTraverse1(BiTree T,void(*Visit)(TElemType))
 { /* 採用二叉鏈表存儲結構，Visit是對數據元素操作的應用函數。算法6.3，有改動 */
   /* 中序遍歷二叉樹T的非遞歸算法(利用棧)，對每個數據元素調用函數Visit */
   SqStack S;
   InitStack(&S);
   while(T||!StackEmpty(S))
   {
     if(T)
     { /* 根指針進棧，遍歷左子樹 */
       Push(&S,T);
       T=T->lchild;
     }
     else
     { /* 根指針退棧，訪問根結點，遍歷右子樹 */
       Pop(&S,&T);
       Visit(T->data);
       T=T->rchild;
     }
   }
   printf("\n");
 }

 void InOrderTraverse2(BiTree T,void(*Visit)(TElemType))
 { /* 採用二叉鏈表存儲結構，Visit是對數據元素操作的應用函數。算法6.2，有改動 */
   /* 中序遍歷二叉樹T的非遞歸算法(利用棧)，對每個數據元素調用函數Visit */
   SqStack S;
   BiTree p;
   InitStack(&S);
   Push(&S,T); /* 根指針進棧 */
   while(!StackEmpty(S))
   {
     while(GetTop(S,&p)&&p)
       Push(&S,p->lchild); /* 向左走到盡頭 */
     Pop(&S,&p); /* 空指針退棧 */
     if(!StackEmpty(S))
     { /* 訪問結點，向右一步 */
       Pop(&S,&p);
       Visit(p->data);
       Push(&S,p->rchild);
     }
   }
   printf("\n");
 }

 void PostOrderTraverse(BiTree T,void(*Visit)(TElemType))
 { /* 初始條件：二叉樹T存在，Visit是對結點操作的應用函數 */
   /* 操作結果：後序遞歸遍歷T，對每個結點調用函數Visit一次且僅一次 */
   if(T) /* T不空 */
   {
     PostOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先後序遍歷左子樹 */
     PostOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 再後序遍歷右子樹 */
     Visit(T->data); /* 最後訪問根結點 */
   }
 }

 void LevelOrderTraverse(BiTree T,void(*Visit)(TElemType))
 { /* 初始條件：二叉樹T存在，Visit是對結點操作的應用函數 */
   /* 操作結果：層序遞歸遍歷T(利用隊列)，對每個結點調用函數Visit一次且僅一次 */
   LinkQueue q;
   QElemType a;
   if(T)
   {
     InitQueue(&q); /* 初始化隊列q */
     EnQueue(&q,T); /* 根指針入隊 */
     while(!QueueEmpty(q)) /* 隊列不空 */
     {
       DeQueue(&q,&a); /* 出隊元素(指針),賦給a */
       Visit(a->data); /* 訪問a所指結點 */
       if(a->lchild!=NULL) /* a有左孩子 */
         EnQueue(&q,a->lchild); /* 入隊a的左孩子 */
       if(a->rchild!=NULL) /* a有右孩子 */
         EnQueue(&q,a->rchild); /* 入隊a的右孩子 */
     }
     printf("\n");
   }
 }

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