二叉树 C 实例代码

在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有 $2^{i-1}$ 个结点；深度为k的二叉树至多有 $2^k-1$ 个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为 $n_0$ ，度为2的结点数为 $n_2$ ，则 $n_0=n_2+1$ 。

一棵深度为k，且有 $2^k-1$ 个节点称之为满二叉树；深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中，序号为1至n的节点对应时，称之为完全二叉树。

与树不同，树的结点个数至少为1，而二叉树的结点个数可以为0；树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。

图论中的定义

二叉树在图论中是这样定义的：二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。然而，没有足够的信息来区分左结点和右结点。如果不考虑连通性，允许图中有多个连通分量，这样的结构叫做森林。

二叉树(Binary Tree)的类型

二叉树是一个有根树，并且每个节点最多有2个子节点。非空的二元树，若树叶总数为 n0，分支度为2的总数为 n2，则 n0 = n2 + 1。

一棵深度为k，且有 $2^k-1$ 个节点的二叉树，称为满二叉树（Full Binary Tree）。这种树的特点是每一层上的节点数都是最大节点数。而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点，则此二叉树为完全二叉树（Complete Binary Tree）。具有n个节点的完全二叉树的深度为 $log_2n+1$ 。深度为k的完全二叉树，至少有 $2^{k-1}$ 个节点，至多有 $2^k-1$ 个节点。

	完全二叉树	满二叉树
总节点k	$2^{h-1}$ <= k < $2^h-1$	k = $2^h-1$
树高h	h = $log_2k+1$	h = $log_2(k+1)$

存储二叉树的方法

二叉链表存储表示

基于链表的二叉树逻辑结构示意

在使用记录或内存地址指针的编程语言中，二叉树通常用树结点结构来存储。有时也包含指向唯一的父节点的指针。如果一个结点的子结点个数小于2，一些子结点指针可能为空值，或者为特殊的哨兵结点。使用链表能避免顺序储存浪费空间的问题，算法和结构相对简单，但使用二叉链表，由于缺乏父链的指引，在找回父节点时需要重新扫描树得知父节点的节点地址。

存储结构

/* 二叉树的二叉链表存储表示 */
 typedef struct BiTNode
 {
   TElemType data;
   struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
 }BiTNode,*BiTree;

 /* 二叉树的二叉链表存储的基本操作(22个) */
 #define ClearBiTree DestroyBiTree /* 清空二叉树和销毁二叉树的操作一样 */
 #include"func6-3.c"
 /* 包括InitBiTree()、DestroyBiTree()、PreOrderTraverse()和InOrderTraverse()4函数 */

 void CreateBiTree(BiTree *T)
 { /* 算法6.4：按先序次序输入二叉树中结点的值(可为字符型或整型，在主程中定义)，*/
   /* 构造二叉链表表示的二叉树T。变量Nil表示空(子)树。有改动 */
   TElemType ch;
   scanf(form,&ch);
   if(ch==Nil) /* 空 */
     *T=NULL;
   else
   {
     *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); /* 生成根结点 */
     if(!*T)
       exit(OVERFLOW);
     (*T)->data=ch;
     CreateBiTree(&(*T)->lchild); /* 构造左子树 */
     CreateBiTree(&(*T)->rchild); /* 构造右子树 */
   }
 }

 Status BiTreeEmpty(BiTree T)
 { /* 初始条件：二叉树T存在。操作结果：若T为空二叉树，则返回TRUE，否则FALSE */
   if(T)
     return FALSE;
   else
     return TRUE;
 }

 int BiTreeDepth(BiTree T)
 { /* 初始条件：二叉树T存在。操作结果：返回T的深度 */
   int i,j;
   if(T==NULL)  /*如果T=NULL,这样写便于理解，当然也可以写成if（!T）*/; 
     return 0; /* 空树深度为0 */
   if(T->lchild)
     i=BiTreeDepth(T->lchild); /* i为左子树的深度 */
   else
     i=0;
   if(T->rchild)
     j=BiTreeDepth(T->rchild); /* j为右子树的深度 */
   else
     j=0;
   return i>j?i+1:j+1; /* T的深度为其左右子树的深度中的大者+1 */
 }

 TElemType Root(BiTree T)
 { /* 初始条件：二叉树T存在。操作结果：返回T的根 */
   if(BiTreeEmpty(T))
     return Nil;
   else
     return T->data;
 }

 TElemType Value(BiTree p)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，p指向T中某个结点。操作结果：返回p所指结点的值 */
   return p->data;
 }

 void Assign(BiTree p,TElemType value)
 { /* 给p所指结点赋值为value */
   p->data=value;
 }

 typedef BiTree QElemType; /* 设队列元素为二叉树的指针类型 */
 #include"c3-2.h" /* 链队列 */
 #include"bo3-2.c" /* 链队列的基本操作 */
 TElemType Parent(BiTree T,TElemType e)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，e是T中某个结点 */
   /* 操作结果：若e是T的非根结点，则返回它的双亲，否则返回＂空＂*/
   LinkQueue q;
   QElemType a;
   if(T) /* 非空树 */
   {
     InitQueue(&q); /* 初始化队列 */
     EnQueue(&q,T); /* 树根指针入队 */
     while(!QueueEmpty(q)) /* 队不空 */
     {
       DeQueue(&q,&a); /* 出队，队列元素赋给a */
       if(a->lchild&&a->lchild->data==e||a->rchild&&a->rchild->data==e)
       /* 找到e(是其左或右孩子) */
         return a->data; /* 返回e的双亲的值 */
       else /* 没找到e，则入队其左右孩子指针(如果非空) */
       {
         if(a->lchild)
           EnQueue(&q,a->lchild);
         if(a->rchild)
           EnQueue(&q,a->rchild);
       }
     }
   }
   return Nil; /* 树空或没找到e */
 }

 BiTree Point(BiTree T,TElemType s)
 { /* 返回二叉树T中指向元素值为s的结点的指针。另加 */
   LinkQueue q;
   QElemType a;
   if(T) /* 非空树 */
   {
     InitQueue(&q); /* 初始化队列 */
     EnQueue(&q,T); /* 根指针入队 */
     while(!QueueEmpty(q)) /* 队不空 */
     {
       DeQueue(&q,&a); /* 出队，队列元素赋给a */
       if(a->data==s)
         return a;
       if(a->lchild) /* 有左孩子 */
         EnQueue(&q,a->lchild); /* 入队左孩子 */
       if(a->rchild) /* 有右孩子 */
         EnQueue(&q,a->rchild); /* 入队右孩子 */
     }
   }
   return NULL;
 }

 TElemType LeftChild(BiTree T,TElemType e)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，e是T中某个结点。操作结果：返回e的左孩子。若e无左孩子,则返回"空" */
   BiTree a;
   if(T) /* 非空树 */
   {
     a=Point(T,e); /* a是结点e的指针 */
     if(a&&a->lchild) /* T中存在结点e且e存在左孩子 */
       return a->lchild->data; /* 返回e的左孩子的值 */
   }
   return Nil; /* 其余情况返回空 */
 }

 TElemType RightChild(BiTree T,TElemType e)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，e是T中某个结点。操作结果：返回e的右孩子。若e无右孩子,则返回"空" */
   BiTree a;
   if(T) /* 非空树 */
   {
     a=Point(T,e); /* a是结点e的指针 */
     if(a&&a->rchild) /* T中存在结点e且e存在右孩子 */
       return a->rchild->data; /* 返回e的右孩子的值 */
   }
   return Nil; /* 其余情况返回空 */
 }

 TElemType LeftSibling(BiTree T,TElemType e)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，e是T中某个结点 */
   /* 操作结果：返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟，则返回＂空＂*/
   TElemType a;
   BiTree p;
   if(T) /* 非空树 */
   {
     a=Parent(T,e); /* a为e的双亲 */
     if(a!=Nil) /* 找到e的双亲 */
     {
       p=Point(T,a); /* p为指向结点a的指针 */
       if(p->lchild&&p->rchild&&p->rchild->data==e) /* p存在左右孩子且右孩子是e */
         return p->lchild->data; /* 返回p的左孩子(e的左兄弟) */
     }
   }
   return Nil; /* 其余情况返回空 */
 }

 TElemType RightSibling(BiTree T,TElemType e)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，e是T中某个结点 */
   /* 操作结果：返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟，则返回＂空＂*/
   TElemType a;
   BiTree p;
   if(T) /* 非空树 */
   {
     a=Parent(T,e); /* a为e的双亲 */
     if(a!=Nil) /* 找到e的双亲 */
     {
       p=Point(T,a); /* p为指向结点a的指针 */
       if(p->lchild&&p->rchild&&p->lchild->data==e) /* p存在左右孩子且左孩子是e */
         return p->rchild->data; /* 返回p的右孩子(e的右兄弟) */
     }
   }
   return Nil; /* 其余情况返回空 */
 }

 Status InsertChild(BiTree p,int LR,BiTree c) /* 形参T无用 */
 { /* 初始条件：二叉树T存在，p指向T中某个结点，LR为0或1，非空二叉树c与T不相交且右子树为空 */
   /* 操作结果：根据LR为0或1，插入c为T中p所指结点的左或右子树。p所指结点的 */
   /*           原有左或右子树则成为c的右子树 */
   if(p) /* p不空 */
   {
     if(LR==0)
     {
       c->rchild=p->lchild;
       p->lchild=c;
     }
     else /* LR==1 */
     {
       c->rchild=p->rchild;
       p->rchild=c;
     }
     return OK;
   }
   return ERROR; /* p空 */
 }

 Status DeleteChild(BiTree p,int LR) /* 形参T无用 */
 { /* 初始条件：二叉树T存在，p指向T中某个结点，LR为0或1 */
   /* 操作结果：根据LR为0或1，删除T中p所指结点的左或右子树 */
   if(p) /* p不空 */
   {
     if(LR==0) /* 删除左子树 */
       ClearBiTree(&p->lchild);
     else /* 删除右子树 */
       ClearBiTree(&p->rchild);
     return OK;
   }
   return ERROR; /* p空 */
 }

 typedef BiTree SElemType; /* 设栈元素为二叉树的指针类型 */
 #include"c3-1.h" /* 顺序栈 */
 #include"bo3-1.c" /* 顺序栈的基本操作 */
 void InOrderTraverse1(BiTree T,void(*Visit)(TElemType))
 { /* 采用二叉链表存储结构，Visit是对数据元素操作的应用函数。算法6.3，有改动 */
   /* 中序遍历二叉树T的非递归算法(利用栈)，对每个数据元素调用函数Visit */
   SqStack S;
   InitStack(&S);
   while(T||!StackEmpty(S))
   {
     if(T)
     { /* 根指针进栈，遍历左子树 */
       Push(&S,T);
       T=T->lchild;
     }
     else
     { /* 根指针退栈，访问根结点，遍历右子树 */
       Pop(&S,&T);
       Visit(T->data);
       T=T->rchild;
     }
   }
   printf("\n");
 }

 void InOrderTraverse2(BiTree T,void(*Visit)(TElemType))
 { /* 采用二叉链表存储结构，Visit是对数据元素操作的应用函数。算法6.2，有改动 */
   /* 中序遍历二叉树T的非递归算法(利用栈)，对每个数据元素调用函数Visit */
   SqStack S;
   BiTree p;
   InitStack(&S);
   Push(&S,T); /* 根指针进栈 */
   while(!StackEmpty(S))
   {
     while(GetTop(S,&p)&&p)
       Push(&S,p->lchild); /* 向左走到尽头 */
     Pop(&S,&p); /* 空指针退栈 */
     if(!StackEmpty(S))
     { /* 访问结点，向右一步 */
       Pop(&S,&p);
       Visit(p->data);
       Push(&S,p->rchild);
     }
   }
   printf("\n");
 }

 void PostOrderTraverse(BiTree T,void(*Visit)(TElemType))
 { /* 初始条件：二叉树T存在，Visit是对结点操作的应用函数 */
   /* 操作结果：后序递归遍历T，对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */
   if(T) /* T不空 */
   {
     PostOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先后序遍历左子树 */
     PostOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 再后序遍历右子树 */
     Visit(T->data); /* 最后访问根结点 */
   }
 }

 void LevelOrderTraverse(BiTree T,void(*Visit)(TElemType))
 { /* 初始条件：二叉树T存在，Visit是对结点操作的应用函数 */
   /* 操作结果：层序递归遍历T(利用队列)，对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */
   LinkQueue q;
   QElemType a;
   if(T)
   {
     InitQueue(&q); /* 初始化队列q */
     EnQueue(&q,T); /* 根指针入队 */
     while(!QueueEmpty(q)) /* 队列不空 */
     {
       DeQueue(&q,&a); /* 出队元素(指针),赋给a */
       Visit(a->data); /* 访问a所指结点 */
       if(a->lchild!=NULL) /* a有左孩子 */
         EnQueue(&q,a->lchild); /* 入队a的左孩子 */
       if(a->rchild!=NULL) /* a有右孩子 */
         EnQueue(&q,a->rchild); /* 入队a的右孩子 */
     }
     printf("\n");
   }
 }

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