CF round#205 D

昨天做CF D題，是neko搞出來的，賽後看了一下standing上別人的代碼，記下對這道題的理解。

problem link: http://codeforces.com/contest/353/problem/D

首先來一個最短的代碼：

for(int i = 0; i < n; i++) {
    if(str[i] == 'M') x++;
    else if(x) y = max(y+1, x);
}
printf("%d\n". y);

x是前面boys的累加，a表前面最近一個girl，b表當前girl，y0是a所需要的時間，y1是b所需要的時間。

<1>首先，y0+1和x是y1的兩個下界。

     證明：不論a、b相對位置如何，x是y1的一個下界都沒有爭議吧，因爲b至少要跟x個人交換嘛； 若a、b是相鄰的，則顯而易見y1 = y0 + 1；若a、b不相鄰，當然，下界還是(y0+1, x)~~對了，我這裏說的“下界”只是爲了說明y1肯定比x和y0+1大

<2>兩個下界的最大值就是當前girl b所需要的時間

    證明：如果b能暢通無阻地走到其目的地，則所需時間爲x；

              如若不能，說明在某個時刻a會擋住b，即a、b貼在一起。OK，既然知道她們倆在某個時刻會貼在一起，而移動又都是同步的，那y1 = y0 +１

　　這種思路的巧妙性在於，它不去討論兩個girls中間有多少個boys，而是直接就分成上述兩種情況，掩蓋了各種討論的種種細節。

       這種做法給我的啓發，遇到這種需要分很多種情況的題，不妨換種思路，換種分情況的法子。像這道題，因爲交換是同步的，然後每一次交換都把序列變得亂七八糟的沒有規律。如果找到“不論怎樣，每個girl的相對順序不變”，“當前girl所需的時間只跟前面那個girl移動的時間和前面總boys數有關”這兩個性質，大概就能分析出來了。

ps : if(x) .... 這是爲了判斷前導‘F’的情況。

再來一發：

for(int i = 0; i < n; i++) {
    if(str[i] == 'F') {
        time = i - female++;
        if(time) time += continousFemale++;
    } else {
        continousFemale = max(0, continousFemale-1);
    }
    ans = max(ans, time);
}

這份代碼我並沒理解到它的精髓。

continousFemale其實就是當前女孩所需要等待的時間（所需時間 = 移動到目的地的步數 + 等待時間），有種同性相加，異性相消的感覺...

隨便記點小理解吧~    str[i] == 'M'，說明後面的女生又可以少一個空閒時間了(假設continousFemale > 0)，因爲多了一個str[i]要交換呀...

我根據這份代碼猜測出一個結論：把girl看成1，boy看成-1，得到一個1/-1序列。若有0~i-1的前綴和sum都大於等於0，則對於當前位置i上的女生，她的等待時間爲sum。

如果遇到前綴和小於0的時候，我們把前面砍掉，sum清空爲0，重新從下一個位置開始計算一個新的前綴和sum。

只是猜測，不知對錯，不知怎麼證明，但我覺得要是搞懂這個點應該是很有價值的。有想出證明的大神路過求告知~~

第3分比較常規，跟第2分類似：

for(int i = 0; i < n; i++) {
    if(str[i] == 'F') to[i] = dst++;
    else to[i] = -1;
}
delay[0] = 0;
for(int i = 1; i < n; i++) {
    if(to[i] == i) delay[i] = 0;
    else if(str[i] == str[i-1] && str[i] == 'F') delay[i] = delay[i-1] + 1;
    else if(str[i] == str[i-1] && s[i] == 'M') delay[i] = max(0, delay[i-1] - 1);
    else delay[i] = delay[i-1];
}
for(int i = 0; i < n; i++) 
    if(str[i] == 'F' && to[i] != i) 
        ans = max(ans, i - to[i] + delay[i]);