LuoGu 1983 淺談如何【車站分級】即數據架構調整加強線段樹優化時空複雜度轉換

世界真的很大
這道題本來的原題基本上是一道做爛了的拓撲序水題
但是數據如果加到1e5呢？
雖說可以優化空間從nm到2*n，但是建邊的時間nm是省不了的
詳細講講線段樹對於區間賦值問題的利用

看題先：

description：

一條單向的鐵路線上，依次有編號爲 1, 2, …, n 的 n 個火車站。每個火車站都有一個級別，最低爲 1 級。現有若干趟車次在這條線路上行駛，每一趟都滿足如下要求：如果這趟車次停靠了火車站 x，則始發站、終點站之間所有級別大於等於火車站 x 的都必須停靠。（注意：起始站和終點站自然也算作事先已知需要停靠的站點）

例如，下表是 5 趟車次的運行情況。其中，前 4 趟車次均滿足要求，而第 5 趟車次由於停靠了 3 號火車站（2 級）卻未停靠途經的 6 號火車站（亦爲 2 級）而不滿足要求。

現有 m 趟車次的運行情況（全部滿足要求），試推算這 n 個火車站至少分爲幾個不同的級別。

input：

輸入文件爲 level.in。

第一行包含 2 個正整數 n, m，用一個空格隔開。

第 i + 1 行（1 ≤ i ≤ m）中，首先是一個正整數 si（2 ≤ si ≤ n），表示第 i 趟車次有 si 個停靠站；接下來有 si個正整數，表示所有停靠站的編號，從小到大排列。每兩個數之間用一個空格隔開。輸入保證所有的車次都滿足要求。

output：

輸出只有一行，包含一個正整數，即 n 個火車站最少劃分的級別數。

給出加強版的數據範圍：

詳細講講怎麼從10分一步一步爬到100分吧

---

10分做法：

對於一趟車次，其選中的車的優先級我們很難比較，只知道他麼應該有一個最小的，其餘都比他大或者等於，這樣模糊的條件
當題目發現一個思路進行下去所能得出的結論都很模糊的時候，且無法更加清晰，肯定要想到轉化思路
不如從清晰的部分入手。
既然無法得知這一區間內被選中的所有車站的分級，但是有一點我們可以確認，那就是，沒有沒選中的車站的優先級一定沒有被選中的等級高
這是顯然的。那麼就把這一段區間所有沒有被選中的點和所有被選中的點連邊。只要題目沒有矛盾，那必然是一張DAG。
那麼我們需要的就是這張DAG裏的最長路，即拓撲序最大值就行了

看似十分優秀的做法其實不夠優秀
這樣的話建邊的時間複雜度就是nm，空間複雜度也是nm。
對於5000的數據範圍，建邊很有可能達到25000000~
可惜啊~
從未見過10分的題解這麼長

---

40分做法

就是10分做法的優化了
時間複雜度nm，因爲拓撲序是O（m）的，就忽略了
在這個數據範圍下還可以接受，但是空間就不得行了
需要優化的是空間
考慮對於每一趟車次，我們虛建一個額外的點，所有沒被選上的點對虛點連邊，虛點對所有被選上的點連邊，然後再拓撲序的時候不考慮虛點。
這樣結果是一樣的但是建邊的空間複雜度卻能夠被縮減到O（n）
非常之優秀

40分代碼：

#include<stdio.h>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;

struct edge
{
    int u,v,last;
}ed[4000010];

queue <int> state;

int n,m,ans=0,num=0,tot=0;
int src[200010],dis[200010],head[200010],in[200010];

void add(int u,int v)
{
    num++,in[v]++;
    ed[num].v=v;
    ed[num].last=head[u];
    head[u]=num;
}

void TOP()
{
    for(int i=1;i<=n+m;i++)
        if(!in[i])
        {
            state.push(i);
            if(i<=n) dis[i]=1;
            else dis[i]=0;
        } 
    while(!state.empty())
    {
        int u=state.front();
        state.pop();
        for(int i=head[u];i;i=ed[i].last)
        {
            int v=ed[i].v;//printf("%d %d\n",u,v);
            in[v]--;
            if(!in[v])
            {
                if(v<=n) dis[v]=max(dis[u]+1,dis[v]);
                else dis[v]=max(dis[v],dis[u]);
                state.push(v);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    freopen("c.in","r",stdin);
    freopen("c.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int t,u,st=INF,ed=0;
        tot++;
        scanf("%d",&t);
        for(int k=1;k<=t;k++)
        {   
        //  printf("%d %d\n",i,j);
            scanf("%d",&u);
            st=min(st,u),ed=max(ed,u);
            add(n+i,u),src[u]=tot;
        }
    //  if(i==25) printf("%d %d %d\n",st,ed,t);
        for(int k=st;k<=ed;k++)
            if(src[k]!=tot) add(k,n+i);
    }
    TOP();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=max(ans,dis[i]);
//  for(int i=1;i<=n;i++)
//      if(dis[i]==17) printf("%d\n",i);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
/*
100 100
20 28 39 42 47 48 49 50 54 55 56 57 58 59 61 64 68 69 72 73 75
*/

---

100分做法

空間複雜度已經足夠優秀了，不夠優秀的是建邊的時候的時間複雜度
講道理怎麼會有一道題的時間複雜度集中在預處理上的。。。
考慮我們建邊的時候，是對一段連續的區間向一個點連邊，挨個挨個連是我們這個算法的不夠優秀的地方
但是如果想要直接連，或者說，一個區間一起連，能夠想到的就是先把這個區間的所有點連向一個虛點，再由虛點連向這個虛點
這麼安排這個預處理的預處理的虛點呢？

一段區間一起做什麼事應該想到線段樹
用線段樹的每一個節點把其所有區間統一起來，連的時候就用log的時間直接連接一段區間就好
但是這樣在線段樹自己上面就會多連一些邊，空間複雜度會變大，但也在可以接受的範圍內
正所謂“空間換時間”
完整AC代碼：

#include<stdio.h>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct edge
{
    int v,last;
}ed[8000010];

queue <int> state ;

struct node
{
    int id;
    node *ls, *rs;
}pool[8000010],*tail=pool,*root;

int n,m,num=0,tot=0,ans=0;
int head[400010],tmp[400010],mrk[400010],rev[400010],dis[400010],in[400010];

void add(int u,int v)
{
    num++,in[v]++;
    ed[num].v=v;
    ed[num].last=head[u];
    head[u]=num;
}

node *build(int lf,int rg)
{
    node* nd=++tail;
    nd->id=++tot;
    if(lf==rg)
    {
        rev[lf]=nd->id,mrk[nd->id]=1;
        nd->ls=nd->rs=0;
        return nd;
    }
    int mid=(lf+rg)>>1;
    nd->ls=build(lf,mid);
    nd->rs=build(mid+1,rg);
    add(nd->ls->id,nd->id);
    add(nd->rs->id,nd->id);
    return nd;
}

void modify(node *nd,int lf,int rg,int L,int R,int tar)
{
    if(L<=lf && rg<=R)
    {
        add(nd->id,tar);
        return ;
    }
    int mid=(lf+rg)>>1;
    if(L<=mid) modify(nd->ls,lf,mid,L,R,tar);
    if(R>mid) modify(nd->rs,mid+1,rg,L,R,tar);
}

void TOP()
{
    for(int i=1;i<=tot+m;i++)
        if(!in[i])
        {
            state.push(i);
            if(mrk[i]) dis[i]=1;
            else dis[i]=0;
        }
    while(!state.empty())
    {
        int u=state.front();
        state.pop();
        for(int i=head[u];i;i=ed[i].last)
        {
            int v=ed[i].v;
            in[v]--;
            if(!in[v])
            {
                if(mrk[v]) dis[v]=max(dis[v],dis[u]+1);
                else dis[v]=max(dis[v],dis[u]);
                state.push(v);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    root=build(1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int t;
        scanf("%d",&t);
        for(int k=1;k<=t;k++)
            scanf("%d",&tmp[k]),add(tot+i,rev[tmp[k]]);
        for(int k=2;k<=t;k++)
        {
            int R=tmp[k]-1,L=tmp[k-1]+1;
            if(L<=R) modify(root,1,n,L,R,tot+i);
        }
    }
    TOP();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=max(ans,dis[i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
/*
9 2 
4 1 3 5 6 
3 3 5 6 
*/

嗯，就是這樣