Python 機器學習實戰：根據成績預測大學生能否被高校錄取

      邏輯迴歸算法是用於分類的。本案例中，建立一個邏輯迴歸模型來預測一個學生是否被大學錄取。假設你是一個大學系的管理員，你想根據兩次考試的結果來決定每個申請人的錄取機會。你有以前的申請人的歷史數據，你可以用它作爲邏輯迴歸的訓練集。對於每一個培訓例子，你有兩個考試的申請人的分數和錄取決定。爲了做到這一點，我們將建立一個分類模型，根據考試成績估計入學概率。

      1、首先，導入庫，並且讀取數據集。原來數據集是 .txt 結尾的。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

import os
path =  'LogiReg_data.txt'
pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])

由於原始數據中並沒有給出每一列的列的名字，所以，我們自己加一個 “Exam 1”、"“Exam 2”、"Admitted"，我們最好列舉前幾行數據，確認一下是否讀入了數據，並且，看一下數據的維度：

pdData.head()
pdData.shape

顯示結果如下：

      2、將數據分成正負樣本，利用散點圖，大致看一下數據分佈（不是必要步驟，而且因爲數據只有兩個維度，才添加了此步驟）

positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1] 
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0] 

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')
ax.legend()
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')

補充說明一下：Admitted 是標籤，當標籤爲 1 時，認爲是正樣本；標籤爲 0 時，認爲是負樣本。而 pd Data['Admitted'] == 1，是一堆 True 和 false。散點圖的顯示效果如下所示：

      3、邏輯迴歸

      此部分，我們主要建立一個分類器：也就是求解 theta 值。然後設定閾值，根據閾值，判斷是否被錄取。主要步驟如下：

      （1）、定義 sigmoid 函數

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

      sigmoid 函數是將預測值（比如線性迴歸中的結果），映射爲概率的一個函數。形式爲：

其中，自變量 z 爲任意值，而 g(z) 的值域爲 （0,1），（0,1）也就是對應着概率的大小。曲線圖如下：

      （2）定義模型，也就是預測函數

 

def model(X, theta):
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))

  

      將 sigmoid () 函數的自變量 z 變成上式。其中，X 是樣本數據，它的每一行都是一個樣本，每一列爲樣本的某一個特徵。theta 表示參數，它是我們通過學習獲得的，其中，對於每一個特徵，都對應一個 theta ,即

其中，爲偏置項，因此，要在原始數據上補上一列，值爲 1 ，是爲了形式上的統一，方便矩陣運算，

pdData.insert(0, 'Ones', 1) # 在第 0 列，插入一列，名稱爲"Onces"，數值全爲 1


# set X (training data) and y (target variable)
orig_data = pdData.as_matrix() # convert the Pandas representation of the data to an array useful for further computations
cols = orig_data.shape[1]
X = orig_data[:,0:cols-1]
y = orig_data[:,cols-1:cols]

theta = np.zeros([1, 3])  # 初始化theta 

      (3) 定義損失函數

      損失函數是將對數似然函數，乘以一個負號。乘以負號是爲了將求解梯度上升轉換爲求解梯度下降，

   

      這是整體的一個損失，但是，不同的樣本量，總損失肯定是不同的，因此，爲了確定一個統一標準，使用平均損失，即將總損失除以樣本個數，

def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    return np.sum(left - right) / (len(X))

初始的損失值，我們可以計算出來，

cost(X, y, theta)

結果爲：0.69314718055994529

      （4）梯度的計算與參數的更新

      計算梯度的目的是尋找極值，確定損失函數如何進行優化，使損失函數的值越來越小。

  

參數的更新策略爲：

     

 我們需要通過迭代來計算梯度，然後，梯度的計算什麼時候停止呢？這裏有三種停止策略：

1、設置固定的迭代次數

2、設置損失函數的閾值，當達到一定閾值時，就停止迭代。

3、通過梯度的變化率來判斷：設置前後兩次梯度相差的閾值，如果小於該閾值，停止迭代。

相關代碼如下：

STOP_ITER = 0
STOP_COST = 1
STOP_GRAD = 2

def stopCriterion(type, value, threshold):
    #設定三種不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:      return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:      return np.linalg.norm(value) < threshold

import numpy.random
#洗牌
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols-1]
    y = data[:, cols-1:]
    return X, y

import time

def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #梯度下降求解
    
    init_time = time.time()
    i = 0 # 迭代次數
    k = 0 # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape) # 計算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)] # 損失值

    while True:
        grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta)
        k += batchSize  #取batch數量個數據
        if k >= n:    # 這個 n 是在運行的時候指定的，爲樣本的個數
            k = 0 
            X, y = shuffleData(data) #重新洗牌
        theta = theta - alpha*grad # 參數更新
        costs.append(cost(X, y, theta)) # 計算新的損失
        i += 1 

        if stopType == STOP_ITER:       value = i
        elif stopType == STOP_COST:     value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:     value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
    
    return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time

def run(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #import pdb; pdb.set_trace();
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta

這樣，就可以運行結果了。運行的類型有很多種，首先，終止迭代的方式有三種，而選擇樣本的方式同樣有三種：（1）批量梯度下降，也就是一下子考慮所有的樣本，這樣的話，速度慢，但是容易得到最優解；（2）隨機梯度下降，每次只利用一個樣本，這樣的方式迭代速度很快，不過難以保證每次的迭代都是朝着收斂的方向；（3）小批量梯度下降，即 mini-batch ，每次更新選擇一小部分，比如 16個樣本，32 個樣本等等，這樣的方式很實用，但應該先對數據進行洗牌，打亂順序。

先運行一下：

run(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.005, alpha=0.001)

結果如下：

如果採用隨機梯度下降（每次只使用一個樣本），或者小批量梯度下降（每次採用 mini-batch），會產生如下的效果——波動太大

run(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

有至少兩種解決方案：

（1）將學習率調小一點，情況肯定會有所改善

（2）對數據去均值化。將數據按其屬性(按列進行)減去其均值，然後除以其方差。最後得到的結果是，對每個屬性/每列來說所有數據都聚集在0附近，方差值爲1。

from sklearn import preprocessing as pp

scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])

      最終的結果是：波動不再明顯，並且收斂速度加快，最終獲得的損失函數的值會更小。不再一一列舉實驗

      4、精度判斷

      我們訓練好的模型到底好不好用，測試結果來說話：

#設定閾值
def predict(X, theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]

scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

最後結果爲 92 %。當然了，這個結果是可以改善了，如果迭代的次數更多，這個精度會更高。