一、時間頻度
基本介紹：
時間頻度：一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪個算法中語句執行次數多，它花費時間 就多。一個算法中的語句執行次數稱爲語句頻度或時間頻度。記爲 T(n)。[舉例說明]
比如計算 1-100 所有數字之和, 我們設計兩種算法：
舉例說明-忽略常數項
結論:
1) 2n+20 和 2n 隨着 n 變大，執行曲線無限接近, 20 可以忽略
2) 3n+10 和 3n 隨着 n 變大，執行曲線無限接近, 10 可以忽略
舉例說明-忽略低次項
結論:
1) 2n^2 +3n+10 和 2n^2 隨着 n 變大, 執行曲線無限接近, 可以忽略 3n+10
2) n^2+5n+20 和 n^2 隨着 n 變大,執行曲線無限接近, 可以忽略 5n+20
舉例說明-忽略係數
結論:
1) 隨着 n 值變大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，執行曲線重合, 說明 這種情況下, 5 和 3 可以忽略。
2) 而 n^3+5n 和 6n^3+4n ，執行曲線分離，說明多少次方式關鍵
二、時間複雜度
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一般情況下，算法中的基本操作語句的重複執行次數是問題規模 n 的某個函數，用 T(n)表示，若有某個輔 助函數 f(n)，使得當 n 趨近於無窮大時，T(n) / f(n) 的極限值爲不等於零的常數，則稱 f(n)是 T(n)的同數量級函數。 記作 T(n)=Ｏ( f(n) )，稱Ｏ( f(n) ) 爲算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。
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T(n) 不同，但時間複雜度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 與 T(n)=3n²+2n+2 它們的 T(n) 不同，但時間複雜 度相同，都爲 O(n²)。
3) 計算時間複雜度的方法：
- 用常數 1 代替運行時間中的所有加法常數 T(n)=3n²+7n+6 => T(n)=3n²+7n+1
- 修改後的運行次數函數中，只保留最高階項 T(n)=3n²+7n+1 => T(n) =3n²
- 去除最高階項的係數 T(n) = n² => T(n)
三、常見的時間複雜度：
- 常數階 O(1)
- 對數階 O(log2n)
- 線性階 O(n)
- 線性對數階 O(nlog2n)
- 平方階 O(n^2)
- 立方階 O(n^3)
- k 次方階 O(n^k)
- 指數階 O(2^n)
常見的時間複雜度對應的圖:
說明：
- 常見的算法時間複雜度由小到大依次爲：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜ Ο(2n) ，隨着問題規模 n 的不斷增大，上述時間複雜度不斷增大，算法的執行效率越低
- 從圖中可見，我們應該儘可能避免使用指數階的算法
1) 常數階 O(1)
2) 對數階 O(log2n)
3) 線性階 O(n)
4) 線性對數階 O(nlogN)
5) 平方階 O(n²)
6) 立方階 O(n³)、K 次方階 O(n^k)
說明：參考上面的 O(n²) 去理解就好了，O(n³)相當於三層 n 循環，其它的類似
四、平均時間複雜度和最壞時間複雜度
- 平均時間複雜度是指所有可能的輸入實例均以等概率出現的情況下，該算法的運行時間。
- 最壞情況下的時間複雜度稱最壞時間複雜度。一般討論的時間複雜度均是最壞情況下的時間複雜度。這樣做的 原因是：最壞情況下的時間複雜度是算法在任何輸入實例上運行時間的界限，這就保證了算法的運行時間不會 比最壞情況更長。
- 平均時間複雜度和最壞時間複雜度是否一致，和算法有關(如圖:)
