問題描述：有n個人，編號分別從0到n-1排列，這n個人圍成一圈，現在從編號爲0的人開始報數，當報到數字m的人，離開圈子，然後接着下一個人從0開始報數，依次類推，問最後只剩下一個人時，編號是多少？
分析：這就是著名的約瑟夫環問題，關於來歷不再說明，這裏直接分析解法。
解法一：蠻力法。我曾將在大一學c語言的時候，用蠻力法實現過，就是採用標記變量的方法即可。
解法一：循環鏈表法。從問題的本質入手，既然是圍成一個圈，並且要刪除節點，顯然符合循環鏈表的數據結構，因此可以採用循環鏈表實現。
解法三：遞推法。這是一種創新的解法，採用數學建模的方法去做。具體如下：
首先定義一個關於n和m的方程f(n,m)，表示每次在n個編號0，1，...，n-1中每次刪除的報數爲m後剩下的數字，
在這n個數字中，第一個被刪除的數字是(m-1)%n，爲了簡單，把(m-1)%n記作k，那麼刪除k之後剩下的數字爲0，1，2，...，k-1，k+1，...，n-1
並且下一次刪除的數字從k+1開始計數，這就相當於剩下的序列中k+1排在最前面，進而形成k+1,..,n-1,0,1,2,...,k-1這樣的序列，這個序列最後剩下的數 字應該和原序列相同，由於我們改變了次序，不能簡單的記作f(n-1,m),我們可以記作g(n-1,m),那麼就會有f(n,m)=g(n-1,m).
下一步，我們把這n-2個數字的序列k+1,..,n-1,0,1,2,...,k-1做一個映射，映射的結果是形成一個從0到n-2的序列。
k+1對0，k+2對1，......，n-1對n-k-2，0對n-k-1，1對n-k，....，k-1對n-2
這樣我們可以把這個映射定義爲p,則p(x)=(x-k-1)%n,它表示如果映射前的數字是x，映射後爲(x-k-1)%n,從而這個映射的反映射問爲p-1(x)=(x+k+1)%n
由於映射之後的序列和原始序列具有相同的形式，都是從0開始的序列，所以可以用函數f來表示，即爲f(n-1,m)，根據映射規則有：
g(n-1,m)=p-1[f(n-n,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n,最後把之前的k=(m-1)%n帶入式子就會有f(n,m)=g(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n.
這樣我們就可以得出一個遞推公式，
當n=1時，f(n,m)=0;
當n>1時，f(n,m)=[f(n-1,m)+m]%n;
有了這個公式，問題就變得多了。
由於解法一和解法二，都很好理解，我就不再寫具體的代碼了，這裏我給出解法三Java代碼，用遞歸實現：
import java.util.*;
public class Main {
public static int ysfh(int n,int m){
if(n<=1)return 0;
return (ysfh(n-n,m)+m)%n;
}
public static void main(String[] args) {
// TODO 自動生成的方法存根
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int n=scan.nextInt();
int m=scan.nextInt();
System.out.println("最後剩下的編號爲："+ysfh(n,m));
}
}
測試樣例輸出爲：
10 3
最後剩下的編號爲：3
可以看出來，這麼複雜的一個問題遞歸只需要兩行代碼即可實現，因此在今後的編程的過程中，要靈活運用數學知識。
