編碼理論中所需代數知識總結
一、羣
1、一個定義了二元運算*的集合G如果滿足如下條件，則稱之爲羣。
- 二元運算*滿足結合律
- 存在單位元e，使得a*e=e*a=a
- 對於G中任意元素a，存在逆元a‘，使得a*a'=a'*a=e
- 如果二元運算*滿足交換律，則上述羣是交換羣（abel羣），如不滿足二三條，稱爲半羣，如還滿足交換律，稱爲交換半羣
2、羣的單位元和逆元都是唯一的。
3、集合G中的元素不一定是數，還可以是多項式、矩陣、線性變換等等。
4、G爲二元運算*下的一個羣，H爲G的一個非空子集，下列條件滿足時，H稱爲G的一個子羣：
- H在二元運算*下是封閉的
- H中的任意元素的逆元任然在H中
5、H爲二元運算*的羣G的子羣，a屬於G，則a*H稱爲H的陪集，元素爲H中的元素*上a。
6、G的子羣H有如下性質：
- G中的元素出現且僅出現在一個H的陪集中
- H的所有不同陪集之間互不相交
- H的所有不同陪集的並構成羣G
7、拉格朗日定理，G是一個n階羣，H是它的m階子羣，則劃分G/H由n/m個H的陪集構成。
8、對於集合{1,2,3,4,5，n-1}，如果n爲素數則可以在模n乘法下構成乘法羣，如果n爲合數則不可，因爲如果n爲合數，則必有元素與n不互素，不存在乘法逆元（實爲模n剩餘類環的性質）。
二、環
1、設非空集合R有兩個代數運算，一個叫做加法，一個叫做乘法，滿足下列條件時R和這兩個代數運算構成一個環：
- R對加法構成一個加羣
- R對乘法滿足結合律
- 乘法對加法滿足左右分配率（注意沒有乘法羣）
2、模n剩餘類環。任取一個正整數n，令Zn爲由n個剩餘類0,1,2,...,n-1(上面都應該有-）作成的集合，該集合與加法乘法構成一個環，其中剩餘類代表模n同餘的一類數，比如1和7都是在模6下餘1，則他們屬於同一個剩餘類，可以取1也可以取7作爲代表元。
3、模n剩餘類環是一種有限環，以素數p爲模數的模p剩餘類環構成有限域。注意有限表示這個換的集合元素有限，由定義知，模n剩餘類環的元素是模n剩餘類，每一類用一個代表元表示，總的類數是有限的。
4、上述對模n剩餘類環的定義等價於定義一個集合{0,....n-1}，兩個運算分別爲模加模減。這一點源自集合的同構。
5、同構，如果兩個集合之間存在一種雙射關係->，則他們同構：
a->a',b->b',(a*b)->a'*b'.同構的集合，任意研究一個就可以。
三、域
1、設F爲一組元素的集合，在其上定義了加法+和乘法*，如果滿足下列條件，則該集合和二元運算+、*一起稱爲域：
- 在加法+下是一個交換羣
- 在乘法*下是一個交換羣
- 乘法對加法滿足分配律
2、對於任意素數P，都存在一個含P個元素的有限域，記爲素域GF(P)，雖然不要講GF(P)中集合元素就看做{0,1,2...P-1}，但在素域情況下，這樣理解也沒有問題，因爲加乘都是模P的。
3、對於任意正整數m，都可以把一個素域GF(P)擴展爲一個有P^m個元素的域，稱爲GF(P)的擴域，記爲GF(p^m)，注意這裏的p^m代表的是元素個數，而不是Zp^m，因此是一定能構成域的。
4、域的特徵值就是幺元1的和爲1的最小相加次數，素域GF(P)的特徵值一定爲P，有限域的特徵值一定是素數。對於有限域GF(P^m)，它的特徵值爲P，由此看出，當有限域的特徵值和它的元素個數不同時，元素個數一定是特徵的冪。
5、GF(P)不一定是素域，必須要說P是素數才行，且當P是素數時，所有特徵爲P的素域都同構，因此可以看做{0,1,2,...,P-1}這個集合。由此得出任何階數爲P^m的有限域都同構。
6、對於有限域中的元素a，使得a^k=1的最小k稱作a的階數；如果q爲有限域的階數，則a^q-1=1一定成立，且a的階數一定整除q-1，如果a的階數k=q-1，則a爲有限域的本原元，a的冪能生成GF(q)中的所有元素，任何一個有限域都有一個本原元。對於一個素域GF(7)，這個域特徵值爲7，3^1=3,3^2=2,3^3=6,3^4=4,3^5=5,3^6=1，可見3的階爲6=7-1（就沒有考慮0了，雖然0算域中元素）,3是本原元。
7、我們可以通過任意GF(q)中的符號構造碼，其中q要麼是一個素數p，要麼是p的冪。由此看出，我們更注重的是有限域中有多少元素或符號（不同元素個數），不在意它具體是什麼，因此我們只需要考慮同構意義下的那個域，用於不同狀態的表徵。
8、不可約多項式和本原多項式：GF(2)上的m次多項式P(x)表示多項式的係數由GF(2)上元素構成，且多項式最高次數爲m。如果GF(2)上的m次多項式不能被任意次數小於m且大於0的多項式整除，則稱爲P(x)在GF(2)上是不可約的。如果一個不可約多項式P(x)滿足被它整除的X^n+1的最小整數n爲2^m-1，則稱P(x)爲本原多項式。
9、GF(2^m)域的構造：關鍵是找到2^m個不同的元素。
給一個新的符號a，P(x)是GF(2)上的一個m次本原多項式，令P(a)=0，由於P(x)整除X^(2^m-1)，因此有X^(2^m-1)+1=q(X)p(X)，用a代替X，得到a^(2^m-1)+1=0，所以a^(2^m-1)=1，所以有一個包含2^m個元素的集合F={0,1,a,a^2...a^(2^m-1)。可以看出F中的非零元素可以用GF(2)上的2^m-1個a的m-1次或更低次的互異非零多項式表示。通過證明最終得到，集合F是一個含有2^m個元素的GF(2^m)，其中的每個元素可以用冪表示，也可以用多項式表示（從這裏看出，域中元素不一定是數），冪表示對乘法運算方便，多項式表示對加法運算比較方便。比如：設m=4，本原多項式爲p(x)=1+X+X^4.
設p(a)=1+a+a^4=0，因此a^4=1+a，又知a^15=1.通過反覆使用上述關係，可以得到不同元素的多項式表示，如a^5=a(a^4)=a(1+a)=a+a^2，元素乘法a^5*a^12=a^17=a^2*a^15=a^2。
10、對於GF(2^m)中元素的多項式表示方法，可以將係數向量提出來，得出向量表示，這也是布爾函數與GF(2^m)域的交叉點。不管是向量表示、多項式表示、還是冪表示，都表示的是一個元素，是有限集合中的一個符號。
11、對於一個有限域GF(p^n)，對於n的每個因子m，GF(p^n)只存在一個子域GF(p^m)。
12、跡函數表示從GF(p^n)到GF(p^m)的一個映射，只代表一個布爾函數，表達式固定。
