前言
這個系列是畢業找工作的複習筆記，希望可以和廣大正準備畢業的童鞋一起打牢基礎，迎接各種筆試……爲了應付中英文筆試，關鍵詞都用英文進行標註，這樣就不怕面對英文題目了。之所以開始這一系列是因爲之前在參加微軟筆試的時候，被一道stable sorting的選擇題給卡住了，才發現自己的基本功什麼時候變得這麼差了。既然要找工作就要好好複習，從最基礎的開始。算法的部分來自《The Algorithm Design Manual》的筆記。
結構特點
二叉搜索樹的特點是，小的值在左邊，大的值在右邊，即
比如：
這樣的結構有一個好處是很容易獲得最大值（Maximum）、最小值（minimum）、某元素的前驅（Precursor）、某元素的後繼（Successor）。
最大值：樹的最右節點。
最小值：樹的最左節點。
某元素前驅：左子樹的最右。
某元素的後繼：右子樹的最左。
基本操作
二叉搜索樹的基本操作包括searching、traversal、insertion以及deletion。
(代碼爲了省地方沒有按照規範來寫，真正寫代碼的時候請一定遵照規範)
① searching
tree * search_tree(tree *l, item_type x){
if(l == null) return NULL;
if(l->item == x) return l;
if(x < l->item){
return (search_tree(l->left, x));
}
if(x > l->item){
return (search_tree(l->right, x));
}
}
時間複雜度爲O(h)，h爲樹的高度。
② traversal
由於小的節點在左邊，大的節點在右邊，因此使用中序(in-order)遍歷可以方便的得到一個sorted list。
void traverse_tree(tree *l){
if(l != NULL){
traverse_tree(l->left);
process_item(l->item);
traverse_tree(l->right);
}
}
時間複雜度爲O(n)，n爲樹的總結點數。
③ insertion
insert_tree(tree **l, item_type x, tree *parent){
tree *p; /*temporary pointer*/
if(*l == NULL){
p = malloc(sizeof(tree));
p->item = x;
p->left = p->right = NULL;
p->parent = parent;
*l = p;
return;
}
if(x < (*l)->item){
insert_tree(&((*l)->left), x, *l);
}else{
insert_tree(&((*l)->right), x, *l);
}
}
時間複雜度爲O(h)，h爲樹的高度。
④deletion
在刪除節點時有三種情況：
1）要刪除的節點爲葉節點
那麼直接刪除即可。
2）要刪除的節點有一個子節點
那麼刪除掉該節點，並用其唯一的子節點代替自己的位置即可。
3）要刪除的節點有兩個子節點
那麼首先要找到該節點的右子樹的最小值節點k，然後將該k替換掉待刪除節點。
最壞情況下，時間複雜度爲O(h)+指針的移動開銷。
進階
由上可知，二叉搜索樹的dictionary operation（包括search、insertion、deletion）的時間複雜度均與O(h)相關，h爲樹的高度（log n），如果按照上述的insertion方法構建樹，那麼構建出來的樹的形狀各異，特別是當輸入序列有序時，更會退化到鏈表的程度。所以，如果能用某種方法，將樹的高度降低到最小，那麼其dictionary operation的時間開銷均可以降低，不過相對而言構建樹的開銷將增大。爲了降低二叉搜索樹的高度而提出了平衡二叉樹（Balanced Binary Tree）的概念。它要求左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，並且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。這樣就可以將搜索樹的高度儘量減小。常用算法有紅黑樹、AVL、Treap、伸展樹等。
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