今天幫同學做了一個非線性函數的曲線擬合，以前沒做過，所以是摸着石頭過河。費了一下午時間，終於把曲線擬合出來了，順道也學習了使用Matlab進行曲線擬合的方法，把學習所得記錄下來，和大家共享。
一、 單一變量的曲線逼近
Matlab有一個功能強大的曲線擬合工具箱 cftool ，使用方便，能實現多種類型的線性、非線性曲線擬合。下面結合我使用的 Matlab R2007b 來簡單介紹如何使用這個工具箱。
假設我們要擬合的函數形式是 y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
1、在命令行輸入數據：
》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475]；
》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]；
2、啓動曲線擬合工具箱
》cftool
3、進入曲線擬合工具箱界面“Curve Fitting tool”
（1）點擊“Data”按鈕，彈出“Data”窗口；
（2）利用X data和Y data的下拉菜單讀入數據x,y，可修改數據集名“Data set name”，然後點擊“Create data set”按鈕，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，這時會自動畫出數據集的曲線圖；
（3）點擊“Fitting”按鈕，彈出“Fitting”窗口；
（4）點擊“New fit”按鈕，可修改擬合項目名稱“Fit name”，通過“Data set”下拉菜單選擇數據集，然後通過下拉菜單“Type of fit”選擇擬合曲線的類型，工具箱提供的擬合類型有：
· Custom Equations：用戶自定義的函數類型
· Exponential：指數逼近，有2種類型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)
· Fourier：傅立葉逼近，有7種類型，基礎型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)
· Gaussian：高斯逼近，有8種類型，基礎型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
· Interpolant：插值逼近，有4種類型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
· Polynomial：多形式逼近，有9種類型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
· Power：冪逼近，有2種類型，a*x^b 、a*x^b + c
· Rational：有理數逼近，分子、分母共有的類型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子還包括constant型
· Smoothing Spline：平滑逼近（翻譯的不大恰當，不好意思）
· Sum of Sin Functions：正弦曲線逼近，有8種類型，基礎型是 a1*sin(b1*x + c1)
· Weibull：只有一種，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
選擇好所需的擬合曲線類型及其子類型，並進行相關設置：
——如果是非自定義的類型，根據實際需要點擊“Fit options”按鈕，設置擬合算法、修改待估計參數的上下限等參數；
——如果選Custom Equations，點擊“New”按鈕，彈出自定義函數等式窗口，有“Linear Equations線性等式”和“General Equations構造等式”兩種標籤。
在本例中選Custom Equations，點擊“New”按鈕，選擇“General Equations”標籤，輸入函數類型y=a*x*x + b*x，設置參數a、b的上下限，然後點擊OK。
（5）類型設置完成後，點擊“Apply”按鈕，就可以在Results框中得到擬合結果，如下例：
general model:
f(x) = a*x*x+b*x
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a = 0.009194 (0.009019, 0.00937)
b = 1.78e-011 (fixed at bound)
Goodness of fit:
SSE: 6.146
R-square: 0.997
Adjusted R-square: 0.997
RMSE: 0.8263
