揹包問題（一）

詳細的參見揹包九講，地址：http://download.csdn.net/detail/u014007510/7258089

i表示前i件物品，j表示空間大小

01揹包：每件物品可放一次，狀態轉移方程：

二維的：       f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-cost[i]]+worth[i]),放與不放中取最大的

先寫成i行j列的矩陣；

觀察到：f[i][j]的取值只與f[i-1]層的數據有關，每次更新第j列的數據就行了，那麼可以將二維的動態轉移方程寫成一維的形式;

f[j]=max(f[j],f[j-cost[i]]+worth[i])   ①

ps:    其實就是把f裏面的二維i都去掉，對比上面的方程會發現神奇之處，暫且留個小問題下面講

01揹包是核心思想必須要完全理解它。

完全揹包：

二維的：   f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-k][j-k*cost[i]]+k*worth[i])   或者  f[i][j]=max(f[i-k][j-k*cost[i]]+k*worth[i]) 

ps: 轉換成01揹包來做了,k的可能取值：0<=V-k*cost[i]<=V,枚舉k就可以了。

上面的動態轉移方程看起來比較複雜，而且也不太美，有沒有更簡潔的方程呢?

簡單的二維方程： f[i][j]=max[f[i-1][j],f[i][j-cost[i]]+worth[i]]  

這個方程比較有意思，f[i-1][j]表示在j的空間中放前i-1件的物品可達到的最大價值，f[i][j-cost[i]]+worth[i]表示在j-cost[i]的空間裏放前i件物品可達到的最大價值的基礎上 放一個第i件物品，f[i][j]的取值必然是由這兩種情況得來的！其實這個方程就是：在可能放多個與不放中取最大的。

可能放多個的表示方法：就是在可能已放（即f[i][j-cost[i]]）的基礎上再放一個worth[i]。（講的清楚吧^_^）

一維的： f[j]=max(f[j],f[j-cost[i]]+worth[i])       ②同樣是在放與不放中取最大的

呵呵，看到這兒請比較①②的，看起來是完全一樣的，那麼應該怎麼區分他們呢？

注意：①中max裏的f[j]表示的是放前i-1件的最大值,②中max裏的f[j]表示的是放前i件的最大值；

實現：

①：

void ZO(int V,int C,int W)//V表示整個空間的大小，C指第i種物品的大小，W表示第i種物品的價值
{
    for(int v=V;v>=C;v--)//倒序更新，保證F[v]是前i-1件的最大值
    {
        F[v]=max(F[v],F[v-C]+W);
    }
}

②對每個i執行

void CO(int V,int C,int W)
{
    for(int v=C;v<=V;v++)//順序更新，保證F[v]是前i件的最大值
        F[v]=max(F[v],F[v-C]+W);
}

多重揹包：

二維的：   f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-k][j-k*cost[i]]+k*worth[i])   或者  f[i][j]=max(f[i-k][j-k*cost[i]]+k*worth[i]) 

ps: 和完全揹包類似，0<=V-k*cost[i]<=V且0<=k<=num[i]

有了前面的基礎可以想到：把第i件做多取num[i]件理解爲有num[i]件價值爲worth[i]的物品，再用01揹包做就行了。

但是有沒有更高效的方法呢？

先看這個問題：一個數字n可以寫成n=2^0+2^1+2^3+...+2^i+k,1<=2^i<=n,0<=k<=n-2^i。

以19爲例：寫成10011>1111，進而19=10011=1+10+100+1000+（10011-1-10-100-1000）=1+2+4+8+4

通過上面的簡單非嚴格說明可以知道，n=2^0+2^1+2^3+...+2^i+k,1<=2^i<=n,0<=k<=n-2^i

回到原問題，

將num[i]件物品分解爲2^0件的組合體+2^1件的組合體+2^3件的組合體+...+2^件的組合體i+k件的組合體。這種方法比前一種好多了。

實現：

對每個i

void MU(int V,int C,int W,int M)
{
    if(C*M>=V)//相當於完全揹包
        CO(V,C,W);
    else
    {
        int k=1;
        while(k<M)
        {
            ZO(V,k*C,k*W);//分解爲01揹包
            M=M-k;
            k=2*k;
        }
        ZO(V,M*C,M*W);
    }
}

混合揹包問題：

其實就是多重揹包問題，不過num[i]的取值有區別罷了：屬於01揹包的num[i]=1,屬於完全揹包的num[i]=(V/cost[i]+1)。

當然也可以這麼做

for i=1..N

    if 第i件物品屬於01揹包

        ZO(V,cost[i],worth[i])

    elseif 第i件物品屬於完全揹包

        CO(V,cost[i],worth[i])

    else if 第i件物品屬於多重揹包

        MU(V,cost[i],worth[i],num[i])

最後初始化問題：

①恰好裝滿：f[0]=0,f[1,2,3.....n]=-∞,理解：對0,1,2...n大的空間都什麼也不裝，只有0可以裝，其他都是非法的

②不用恰好裝滿：f[0,1,2...n]=0，理解，對0,1,2...n大的空間都什麼也不裝，都是合法的，都可爲0