AGC010 - B: Boxes

原題鏈接

題意簡述

給出一個由n(n≤105) 個數構成的環，每次可以選擇一個位置並從這個數起順時針依次對每個數-1，-2，-3，…，-n。問能否將所有數全變爲0。

分析

考慮一次操作對環帶來了什麼影響。
(在an 後加一個a1 來表示數環)
6,3,5,7,9(,6) -> 5,1,2,3,4(,5)
5,1,2,3,4(,5) -> 0,0,0,0,0(,0)
差分後：
−3,2,2,2,−3 -> −4,1,1,1,1
−4,1,1,1,1 -> 0,0,0,0,0
可以看到，一次操作相當於對差分數列（或者說是差分環）的一個位置加上n-1，剩下的位置減去1。那麼只要檢查原環的差分數列能否全變爲0，並且此時和也爲0就行了。
對每一個位置的計算複雜度爲O(1) ，總時間複雜度爲O(n) 。

實現

每次操作會使和sum 減少 s0=n(n+1)/2 ，那麼總共進行了 k=sum/s0 次操作。如果k不爲整數那麼不可行。
差分數列的每個位置要能在數個 +(n−1) 和 −1 後變爲0，否則不可行。
列式表示爲 (ai+1−ai)+xi(n−1)−(k−xi)=0 ，如果任何一個xi 不爲整數那麼不可行。
最後，如果∑xi≠k 說明此時sum≠0 ，不可行。

代碼

#include <cstdio>
typedef long long lint;
int const N=1e5+10;
int n,a[N];
int dif[N];
int main()
{
    freopen("b.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    if(n==1) {printf("YES"); return 0;}
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    a[n+1]=a[1];
    lint s=(lint)n*(n+1)>>1,sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) sum+=a[i],dif[i]=a[i+1]-a[i];
    if(sum%s!=0) {printf("NO"); return 0;}
    lint k=sum/s,sumX=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        lint x=(k-dif[i])/n;
        if(x<0 || x*n!=k-dif[i]) {printf("NO"); return 0;}
        sumX+=x;
    }
    if(sumX==k) printf("YES");
    else printf("NO");
    return 0;
}

注意

開longlong！int*int也有可能爆int，要先轉成longlong再乘！
連WA六發…