1、基本概念
二叉樹 是一種簡單的樹形結構，是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）。二叉樹是一種遞歸結構。
二叉樹的基本概念
- 空樹：不包含任何節點的二叉樹成爲空樹。只包含一個節點的二叉樹稱爲一個單點樹。
- 父節點和子節點：一顆二叉樹的根節點稱爲該數的子樹根節點的父節點，與之對應的，子數的根節點稱爲二叉樹樹根節點的子節點。注意父節點和子節點是相對的。
- 葉子節點：在二叉樹中沒有子節點的節點稱爲葉子節點。
- 分支節點：只有存在子節點的節點都是分之節點。
- 度數：一個節點的子節點的個數稱爲該節點的度數。即 葉子節點的度數永遠爲0，分之節點的度數爲1或2。
- 二叉樹的層：二叉樹是一種層次結構，根節點稱爲二叉樹的0層，從根節點到任一節點的路徑長度就是該節點所在的層數，也稱爲該節點的層數。
- 二叉樹的高度：也稱爲深度，就是樹中節點的最大層數。
二叉樹的性質
- 性質1: 在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個結點（i>0）
- 性質2: 高度爲h的二叉樹至多有2^h - 1個結點（h>0）
- 性質3: 對於任意一棵二叉樹，如果其葉結點數爲N0，而度數爲2的結點總數爲N2，則N0=N2+1;
- 性質4:具有n個結點的完全二叉樹的深度必爲 log2(n+1)
- 性質5:對完全二叉樹，若從上至下、從左至右編號，則編號爲i 的結點，其左孩子編號必爲2i，其右孩子編號必爲2i＋1；其雙親的編號必爲i/2（i＝1 時爲根,除外）
滿二叉樹：如果二叉樹中所有分支節點的度數都是2，這樣的二叉樹稱爲滿二叉樹。
完全二叉樹：若設二叉樹的高度爲h，除第 h 層外，其它各層 (1～h-1) 的結點數都達到最大個數，第h層有葉子結點，並且葉子結點都是從左到右依次排布，這就是完全二叉樹。
二叉樹的遍歷：
深度優先遍歷：
深度優先搜索(Depth First Search)是沿着樹的深度遍歷樹的節點，儘可能深的搜索樹的分支。
那麼深度遍歷有重要的三種方法。這三種方式常被用於訪問樹的節點，它們之間的不同在於訪問每個節點的次序不同。
這三種遍歷分別叫做先序遍歷（preorder），中序遍歷（inorder）和後序遍歷（postorder）。
先序遍歷：在先序遍歷中，先訪問根節點，然後遞歸使用先序遍歷訪問左子樹，再遞歸使用先序遍歷訪問右子樹。即 根節點->左子樹->右子樹
中序遍歷：在中序遍歷中，遞歸使用中序遍歷訪問左子樹，然後訪問根節點，最後再遞歸使用中序遍歷訪問右子樹。即 左子樹->根節點->右子樹
後序遍歷：在後序遍歷中，先遞歸使用後序遍歷訪問左子樹和右子樹，最後訪問根節點。即 左子樹->右子樹->根節點
廣度優先遍歷：
是按路徑長度由近到遠地訪問節點。也就是按二叉樹的層次逐層訪問樹中各個節點，這種遍歷不能寫成一個遞歸過程。
2、二叉樹基於Python 列表的簡單實現
# 二叉樹基於Python語言list的實現
class BinTreeListWay(object):
"""
二叉樹類
"""
def __init__(self, data, left=None, right=None):
self.__bintree = [data,left, right]
def is_empty(self):
"""
判斷二叉樹是否爲空
"""
return self.__bintree == None
def root(self):
"""
返回根節點
"""
return self.__bintree[0]
def left(self):
return self.__bintree[1]
def right(self):
return self.__bintree[2]
def set_root(self, data):
"""
設置根節點
"""
self.__bintree[0] = data
def set_left(self, data):
self.__bintree[1] =data
def set_right(self, data):
self.__bintree[2] = data
def show(self):
"""
返回二叉樹
"""
return self.__bintree
if __name__ == "__main__":
d_tree = BinTreeListWay('D', 'F', 'G')
e_tree = BinTreeListWay('E', 'I', 'H')
c_tree = BinTreeListWay('C', d_tree.show(), e_tree.show())
a_tree = BinTreeListWay('A', 'B')
a_tree.set_right(c_tree.show())
print(a_tree.show())
3、二叉樹基於Python自建類的實現
# 二叉樹基於Python語言面自建類的實現
class Node(object):
"""
節點類
"""
def __init__(self, data, left=None, right=None):
self.data = data
self.left = left
self.right = right
class BinTreeClassWay(object):
"""
二叉樹類
"""
def __init__(self, root=None):
self.root = root
def is_empty(self):
"""
判斷二叉樹是否爲空
"""
return self.root == None
def add(self, data):
"""
添加節點，此方法無法控制將節點掛在到那顆子樹，也就意味着它最終形成的二叉樹爲完全二叉樹或滿二叉樹
"""
# 實例化一個新的節點對象
node = Node(data)
# 如果樹是空的，則對根節點數據元素賦值
if self.root == None:
self.root = node
else:
# 創建一個存放節點的隊列
queue = []
queue.append(self.root)
# 對已有的節點按層次進行遍歷
while queue:
# 彈出隊列的第一個節點
head = queue.pop(0)
if head.left == None:
head.left = node
return
elif head.right == None:
head.right = node
return
else:
#如果左右子樹都不爲空，加入隊列繼續判斷
queue.append(head.left)
queue.append(head.right)
# 基於深度優先遍歷
def preorder(self, bin_tree):
"""
先序遍歷方法: 根節點->左子樹->右子樹
"""
if bin_tree == None:
return
print(bin_tree.data)
self.preorder(bin_tree.left)
self.preorder(bin_tree.right)
# 基於深度優先遍歷
def inorder(self, bin_tree):
"""
中序遍歷方法: 左子樹->根節點->右子樹
"""
if bin_tree == None:
return
self.preorder(bin_tree.left)
print(bin_tree.data)
self.preorder(bin_tree.right)
# 基於深度優先遍歷
def postorder(self, bin_tree):
"""
後序遍歷方法: 左子樹->右子樹->根節點
"""
if bin_tree == None:
return
self.preorder(bin_tree.left)
self.preorder(bin_tree.right)
print(bin_tree.data)
# 基於廣度優先遍歷
def breadth_first_travel(self, bin_tree):
"""
廣度優先遍歷
"""
if bin_tree == None:
return
# 該方法和 add 方法中的插入元素類似
queue = []
queue.append(bin_tree)
while queue:
node = queue.pop(0)
print(node.data)
if node.left:
queue.append(node.left)
if node.right:
queue.append(node.right)
def show(self):
"""
返回二叉樹
"""
return self.root
if __name__ == "__main__":
bin_tree = BinTreeClassWay()
bin_tree.add('A')
bin_tree.add('B')
bin_tree.add('C')
bin_tree.add('D')
bin_tree.add('E')
bin_tree.add('F')
bin_tree.add('G')
print('先序遍歷')
bin_tree.preorder(bin_tree.show())
print('中序遍歷')
bin_tree.inorder(bin_tree.show())
print('後序遍歷')
bin_tree.postorder(bin_tree.show())
print('廣度優先遍歷')
bin_tree.breadth_first_travel(bin_tree.show())
