題目描述：
Given n non-negative integers representing the histogram's bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.
Above is a histogram where width of each bar is 1, given height = [2,1,5,6,2,3].
The largest rectangle is shown in the shaded area, which has area = 10 unit.
For example,
Given heights = [2,1,5,6,2,3],
return 10.
最大矩形的高度必然和某一個立柱的高度相等，也就是說，最大矩形必然包含了某一個立柱的全部。
因此，可以遍歷所有立柱，對當前立柱 i，以其高度左右擴展，看看以當前立柱 i 的高度最多能包含進
多大的矩形面積。最後選出最大的總面積即可。這種思路的代碼如下：
c++代碼：
class Solution {
public:
int largestRectangleArea(vector<int>& heights) {
if(heights.size()==0) return 0;
int max=0;
for(int i=0;i<heights.size();i++)
{
int area=0;
int mid=i;
for(;mid>=0 && heights[mid]>=heights[i];mid--)
{
area+=heights[i];
}
for(mid=i+1;mid<heights.size() && heights[mid]>=heights[i];mid++)
{
area+=heights[i];
}
if(max<area) max=area;
}
return max;
}
};class Solution(object):
def largestRectangleArea(self, heights):
"""
:type heights: List[int]
:rtype: int
"""
if len(heights)==0: return 0
maxArea=0
for i in range(len(heights)):
area=0
for mid in range(i,-1,-1):
if heights[mid]>=heights[i]:
area+=heights[i]
else:
break
for mid in range(i+1,len(heights)):
if heights[mid]>=heights[i]:
area+=heights[i]
else:
break
if maxArea<area:
maxArea=area
return maxArea下面我們看一個時間複雜度爲O(n)的解法：
首先我們看一下下面的例子：
heights的內容是 [5,6,7,8,3]，特點是除了最後一個，前面全部保持遞增，且最後一個立柱的高度
小於前面所有立柱高度。對於這種特點的柱狀圖，除了最後一個，從第一個到倒數第二個立柱的高度
都在升高，那麼如果挨個使用每一個柱的高度作爲矩形的高度，那麼依次能得到的矩形的寬度就可以
直接算出來：使用5作爲高度可以使用前四個立柱組成 4*5的矩形，高度6可以組成3*6的矩形...
因此只需要遍歷一次，選出最大面積即可。
對於這種類型的柱狀圖，求最大矩形面積的時間複雜度是O(n)！
我們將這種特點的柱狀圖稱爲“波峯圖”。
下面介紹新的解法的步驟：
(1) 在heights尾部添加一個0，也就是一個高度爲0的立柱。作用是在最後也能湊成上面提的那種“波峯圖”。
(2) 定義了一個stack，然後遍歷heights，如果heights[i] 大於等於stack.top()，進棧。
如果heights[i]小於stack.top()，出棧，直到heights[i] 大於等於stack.top()，然後進棧。
由於出棧的這些元素高度都是遞增的，我們可以求出這些立柱中所圍成的最大矩形。更妙的是，
由於這些被彈出的立柱處於“波峯”之上(比如彈出i 到 i+k，那麼所有這些立柱的高度都
高於 i-1和 i+k+1的高度)，因此，如果我們使用之前所提的“左右延伸找立柱”的思路解，
以這些立柱的高度作爲整個矩形的高度時，左右延伸出的矩形所包含的立柱不會超出這段“波峯”，
因爲波峯外的立柱高度都比他們低。“波峯圖”其實就是求解最大矩形的“孤島”，它不會干擾到外部。
(3)由於比heights[i]大的元素都出完了，heights[i]又大於等於棧頂元素了，因此再次進棧。如此往復，
直到遍歷到最後那個高度爲0的柱，觸發最後的彈出以及最後一次面積的計算。。。。
(4)返回面積最大值。
另外，需要注意的是：棧中存的不是高度，而是heights的索引，這樣做的好處是:
不會影響寬度的計算，索引值相減 = 寬度。
c++代碼：
class Solution {
public:
int largestRectangleArea(vector<int>& heights) {
if(heights.size()==0) return 0;
stack<int> st;
int max=0;
heights.push_back(0);
int leftarea=0,rightarea=0;
for(int i=0;i<heights.size();i++)
{
while(!st.empty() && heights[st.top()]>heights[i])
{
int tmp=st.top();
st.pop();
//以tmp爲高度，tmp所在柱以及向左延伸出來的矩形面積
leftarea=(st.empty()? tmp+1 : tmp-st.top())*heights[tmp];
//以tmp爲高度，向右邊延伸出來的矩形面積
rightarea=(i-tmp-1)*heights[tmp];
if( (leftarea+rightarea)>max ) max=leftarea+rightarea;
}
st.push(i);
}
return max;
}
};class Solution(object):
def largestRectangleArea(self, heights):
"""
:type heights: List[int]
:rtype: int
"""
if len(heights)==0: return 0
l=[] #用列表來模擬一個棧
maxArea=0;
heights.append(0)
leftArea,rightArea=0,0
for i in range(0,len(heights)):
while len(l)!=0 and heights[l[len(l)-1]]>heights[i]:
tmp=l[len(l)-1]
l.pop()
#以tmp爲高度，tmp所在柱以及向左延伸出來的矩形面積
leftArea=(tmp+1 if len(l)==0 else tmp-l[len(l)-1])*heights[tmp]
#以tmp爲高度，向右邊延伸出來的矩形面積
rightArea=(i-tmp-1)*heights[tmp]
if (leftArea+rightArea)>maxArea:
maxArea=leftArea+rightArea
l.append(i)
return maxArea參考資料：點擊打開鏈接
