鋼條切割問題：
某公司購買長鋼條，將其切割爲短鋼條出售。切割工序本身沒有成本支出。公司管理層希望知道最佳的切割方案。假設我們知道該公司出售一段長度爲i英寸的鋼條的價格爲Pi（i=1,2,3,....）鋼條的長度均爲整數。下面給出一個價格表的樣例
長度i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 價格Pi 1 5 8 9 10 17 17 20 24 30
首先，我們分析這個問題。其目的很簡單，就是要求給你一根長鋼條，讓你切割不同的長度，然後出售，但是前提是要獲取最大的利潤。
爲了找出他的規律，或者說是爲了體會一下這個分割求解的過程。
我們假設我們獲取到了一根4米長的長鋼條。
對有這個4米長的長鋼條來說，我們一共有8種分割方式：
第一種：就是不分割，如果分割都可以獲取最大的利潤，我爲什麼要分割呢?對於這種情況，我們的收益是9美元
第二種：分割爲1米和3米。從圖表中我們可以得到，我們的收益是1+8 = 9美元
第三種：分割爲2米和2米。從圖表中我們可以得到，我們的收益是5+5 = 10美元
第四種：分割爲3米和1米。從圖表中我們可以得到，我們的收益是8+1 = 9美元
第五種：分割爲1米、1米和2米。從圖表中我們可以得到，我們的收益是1+1+5 = 7美元
第六種：分割爲1米、2米和1米。從圖表中我們可以得到，我們的收益是1+5+1 = 7美元
第七種：分割爲2米、1米和1米。從圖表中我們可以得到，我們的收益是5+1+1 = 7美元
第八種：分割爲1米、1米、1米、1米。從圖表中我們可以得到，我們的收益是1+1+1+1 = 4美元
綜上所述：我們可以得出在長鋼條爲4米的情況下，其最大收益爲10美元。
下面我們開始分析這個過程：
首先我們要清楚一個事實，就是對於一個長爲n米的長鋼條，有多少種組合的可能？還有對於長度爲4米的長鋼條能被分爲8次這個是怎麼計算的呢？
下面我們開始推斷出這個公式:
對於一個長度爲n的長鋼條不切割時：只有1種 （9和0）
切割1次時有Cn1 = n種
切割2次時有Cn2 = n(n-1)/2種
。。。
切割n次時有Cnn = 1種
於是我們就得出這麼一個公式，一個長度爲n的長鋼條，可以被分割爲Cn1 + Cn2 + Cnn = 2^n-1
所有對於n=4時，分割的次數爲2^3 = 8
在明白這個的基礎下，我們繼續下面的分析。
我們可以假設，在鋼條被切割爲k段時，有最優解，其中(1<=k<=n)
所以可以得到最優解分割方案爲：n = i1+i2+i3+...+ik;
所有同樣可以得到最大收益爲: rn = Pi1+Pi2+...Pik;
對於rn，我們可以用更短的鋼條的最優切割收益來描述它：
rn = max(Pn,r1+rn-1,r2+rn-2,...,rn-1+r1)
對於這個式子，我需要做一些解釋，如果對於這個式子有什麼不瞭解的，不用擔心，因爲這或許就是動態規劃原理的核心部分。
這句話是什麼意思呢？
我們可以這樣理解：對於一根4米的長鋼條。我們可以用1和3的最優解表示，或者2和2的最優解表示，還有用不分割的情況下4和0的最優解表示。
每一根鋼條，我們都分割兩短，例如一根鋼條爲9米，我們可以把他分割爲4,5米。只需要知道4米時的最優解和5米時的最優解，我們就可以知道當9米被分割爲4米和5米的時的最優解了。但是此時我們並不能保證，這個4,5分割一定是最優方案，所以我們同樣要進行其他的方案分割。同時還要獲取其他的方案情況下的最優解。最終。我們可以知道，對於本問題的最優解，一定產生於這些最優子問題的最優解之中。
Pn：代表不分割的情況下
r1+rn-1：代表分割成1，n-1的情況下的最優解
。。。
rn-1+r1：代表分割爲n-1，1的情況下的最優解
最終只需獲取這些最優解的最大值，必然就爲本問題的最優解了。對於這些子問題的最優解，有一個專用術語：最優子結構。
如果我們用暴力法求解這個遞歸式的話。我們經過簡單的計算可以知道，這個時間複雜度爲：T(n) = 1+T(1)+T(2)+...T(n-1) = 2^n
對於一個指數級別的算法來說，這簡直可以說是一個很糟糕的算法，我想這也沒有任何的利用價值。
不過還好，我們有動態規劃，該算法可以很輕鬆的解決這個指數級別的問題。可以將其複雜程度降至n^2
首先。我們分析，爲什麼暴力法會有這麼糟糕的效率呢？
我們舉例說明：
如果對於一個8米長的長鋼條可以分解爲 1+7 2+6 3+5 4+4
所以在之前必須要計算出1,2,3,4,5,6,7時所對應的最優解
對於一根長爲9米的長鋼條可以分解爲1+8 2+7 3+6 4+5
所以在之前必須要計算出1,2,3，4,5,6,7,8時所對應的最優解
如果我要給你一個9米的長鋼條：
你需要計算1，2,3，4,5,6,7,8 時的最優解
在遞歸時計算8的最優解時，你有要必須計算1,2,3,4,5,6,7時的最優解
。。。
你重複計算了太多的選項，
此時如果你從1開始，
計算了1的最優解，並用一個數組保存起來啊a[1]
然後計算2的最優解，有組合(2，0) (1，1)
對於組合(2，0) 直接讀取價格表就好了
對於組合(1，1) 直接從數組a中讀取就可以得出1時的最優解了，因爲我們已經保存在了數組中a[1]
將此時計算的2的最優解，保存在數組中a[2]...以此向上。最終所有的當前問題的最優解都可以通過之前的計算結果獲取(最優子結構數組)，在這種算法條件下，我們最大可能減少了計算量，並且最大可能的利用了我們的計算結果，所以可以大大的降低的計算，提高的效率，這就是動態規劃的厲害之處。
int Best_Value(int p[],int n){
int a[100];//初始化一個數組，其目的就是爲了保存子結構的最優解
int i,j;
int temp;
a[0] = 0;
for(i = 1 ; i <= n ; i++) {
temp = -1;
for(j = 0 ; j < i ; j++) {
if(temp < a[j]+p[i-j-1]) {
temp = a[j]+p[i-j-1];
}
}
a[i] = temp;
}
return a[n];
}
