博弈問題
若你想仔細學習博弈論，我強烈推薦加利福尼亞大學的Thomas S. Ferguson教授精心撰寫並免費提供的這份教材，它使我受益太多。（如果你的英文水平不足以閱讀它，我只能說，恐怕你還沒到需要看“博弈論”的時候。）
Nim遊戲是博弈論中最經典的模型（之一？），它又有着十分簡單的規則和無比優美的結論，由這個遊戲開始瞭解博弈論恐怕是最合適不過了。
Nim遊戲是組合遊戲(Combinatorial Games)的一種，準確來說，屬於“Impartial Combinatorial Games”（以下簡稱ICG）。滿足以下條件的遊戲是ICG（可能不太嚴謹）：1、有兩名選手；2、兩名選手交替對遊戲進行移動(move)，每次一步，選手可以在（一般而言）有限的合法移動集合中任選一種進行移動；3、對於遊戲的任何一種可能的局面，合法的移動集合只取決於這個局面本身，不取決於輪到哪名選手操作、以前的任何操作、骰子的點數或者其它什麼因素； 4、如果輪到某名選手移動，且這個局面的合法的移動集合爲空（也就是說此時無法進行移動），則這名選手負。根據這個定義，很多日常的遊戲並非ICG。例如象棋就不滿足條件3，因爲紅方只能移動紅子，黑方只能移動黑子，合法的移動集合取決於輪到哪名選手操作。
通常的Nim遊戲的定義是這樣的：有若干堆石子，每堆石子的數量都是有限的，合法的移動是“選擇一堆石子並拿走若干顆（不能不拿）”，如果輪到某個人時所有的石子堆都已經被拿空了，則判負（因爲他此刻沒有任何合法的移動）。
這遊戲看上去有點複雜，先從簡單情況開始研究吧。如果輪到你的時候，只剩下一堆石子，那麼此時的必勝策略肯定是把這堆石子全部拿完一顆也不給對手剩，然後對手就輸了。如果剩下兩堆不相等的石子，必勝策略是通過取多的一堆的石子將兩堆石子變得相等，以後如果對手在某一堆裏拿若干顆，你就可以在另一堆中拿同樣多的顆數，直至勝利。如果你面對的是兩堆相等的石子，那麼此時你是沒有任何必勝策略的，反而對手可以遵循上面的策略保證必勝。如果是三堆石子……好像已經很難分析了，看來我們必須要藉助一些其它好用的（最好是程式化的）分析方法了，或者說，我們最好能夠設計出一種在有必勝策略時就能找到必勝策略的算法。
定義P-position和N-position，其中P代表Previous，N代表Next。直觀的說，上一次move的人有必勝策略的局面是P- position，也就是“後手可保證必勝”或者“先手必敗”，現在輪到move的人有必勝策略的局面是N-position，也就是“先手可保證必勝”。更嚴謹的定義是：1.無法進行任何移動的局面（也就是terminal position）是P-position；2.可以移動到P-position的局面是N-position；3.所有移動都導致N-position 的局面是P-position。
按照這個定義，如果局面不可能重現，或者說positions的集合可以進行拓撲排序，那麼每個position或者是P-position或者是N-position，而且可以通過定義計算出來。
以Nim遊戲爲例來進行一下計算。比如說我剛纔說當只有兩堆石子且兩堆石子數量相等時後手有必勝策略，也就是這是一個P-position，下面我們依靠定義證明一下(3,3)是一個P-position。首先(3,3)的子局面（也就是通過合法移動可以導致的局面）有(0,3)(1,3)(2,3)（顯然交換石子堆的位置不影響其性質，所以把(x,y)和(y,x)看成同一種局面），只需要計算出這三種局面的性質就可以了。 (0,3)的子局面有(0,0)、(0,1)、(0,2)，其中(0,0)顯然是P-position，所以(0,3)是N-position（只要找到一個是P-position的子局面就能說明是N-position）。(1,3)的後繼中(1,1)是P-position（因爲(1,1)的唯一子局面(0,1)是N-position），所以(1,3)也是N-position。同樣可以證明(2,3)是N-position。所以(3,3)的所有子局面都是N-position，它就是P-position。通過一點簡單的數學歸納，可以嚴格的證明“有兩堆石子時的局面是P-position當且僅當這兩堆石子的數目相等”。
根據上面這個過程，可以得到一個遞歸的算法——對於當前的局面，遞歸計算它的所有子局面的性質，如果存在某個子局面是P-position，那麼向這個子局面的移動就是必勝策略。當然，可能你已經敏銳地看出有大量的重疊子問題，所以可以用DP或者記憶化搜索的方法以提高效率。但問題是，利用這個算法，對於某個Nim遊戲的局面(a1,a2,…,an)來說，要想判斷它的性質以及找出必勝策略，需要計算O(a1*a2*…*an)個局面的性質，不管怎樣記憶化都無法降低這個時間複雜度。所以我們需要更高效的判斷Nim遊戲的局面的性質的方法。
直接說結論好了。(Bouton’s Theorem)對於一個Nim遊戲的局面(a1,a2,…,an)，它是P-position當且僅當a1^a2^…^an=0，其中^表示異或(xor)運算。怎麼樣，是不是很神奇？我看到它的時候也覺得很神奇，完全沒有道理的和異或運算扯上了關係。但這個定理的證明卻也不復雜，基本上就是按照兩種position的證明來的。
根據定義，證明一種判斷position的性質的方法的正確性，只需證明三個命題： 1、這個判斷將所有terminal position判爲P-position；2、根據這個判斷被判爲N-position的局面一定可以移動到某個P-position；3、根據這個判斷被判爲P-position的局面無法移動到某個P-position。
第一個命題顯然，terminal position只有一個，就是全0，異或仍然是0。
第二個命題，對於某個局面(a1,a2,…,an)，若a1^a2^…^an!=0，一定存在某個合法的移動，將ai改變成ai’後滿足 a1^a2^…^ai’^…^an=0。不妨設a1^a2^…^an=k，則一定存在某個ai，它的二進制表示在k的最高位上是1（否則k的最高位那個1是怎麼得到的）。這時ai^k
