因爲受到經濟危機的影響，我在 bokee.com 的博客可能隨時出現無法訪問的情況；因此將2005年到2006年間在 bokee.com 撰寫的博客文章全部遷移到 csdn 博客中來，本文正是其中一篇遷移的文章。
聲明：本文最初發表於《電腦編程技巧與維護》 2006 年第 5 期，版本所有，如蒙轉載，敬請連此聲明一起轉載，否則追究侵權責任。
從一道筆試題談算法優化（上）
作者：賴勇浩（ http://blog.csdn.net/lanphaday ）
引子
每年十一月各大 IT 公司都不約而同、爭後恐後地到各大高校進行全國巡迴招聘。與此同時，網上也開始出現大量筆試面試題；網上流傳的題目往往都很精巧，既能讓考查基礎知識，又在平淡中隱含了廣闊的天地供優秀學生馳騁。
這兩天在網上淘到一道筆試題目（注 1 ），雖然真假未知，但的確是道好題，題目如下：
從 10 億個浮點數中找出最大的 1 萬個。
這是一道似易實難的題目，一般同學最容易中的陷阱就是沒有重視這個“億”字。因爲有 10 億個單精度浮點數元素的數組在 32 位平臺上已經達到 3.7GB 之巨，在常見計算機平臺（如 Win32 ）上聲明一個這樣的數組將導致堆棧溢出。正確的解決方法是分治法，比如每次處理 100 萬個數，然後再綜合起來。不過這不是本文要討論的主旨，所以本文把上題的 10 億改爲 1 億，把浮點數改爲整數，這樣可以直接地完成這個問題，有利於清晰地討論相關算法的優化（注 2 ）。
不假思索
拿到這道題，馬上就會想到的方法是建立一個數組把 1 億個數裝起來，然後用 for 循環遍歷這個數組，找出最大的 1 萬個數來。原因很簡單，因爲如果要找出最大的那個數，就是這樣解決的；而找最大的 1 萬個數，只是重複 1 萬遍而已。
template< class T >
void solution_1( T BigArr[], T ResArr[] )
{
for( int i = 0; i < RES_ARR_SIZE; ++i )
{
int idx = i;
for( int j = i+1; j < BIG_ARR_SIZE; ++j )
{
if( BigArr[j] > BigArr[idx] )
idx = j;
}
ResArr[i] = BigArr[idx];
std::swap( BigArr[idx], BigArr[i] );
}
}
設 BIG_ARR_SIZE ＝ 1 億， RES_ARR_SIZE = 1 萬，運行以上算法已經超過 40 分鐘（注 3 ），遠遠超過我們的可接受範圍。
稍作思考
從上面的代碼可以看出跟 SelectSort 算法的核心代碼是一樣的。因爲 SelectSort 是一個 O(n^2) 的算法（ solution_1 的時間複雜度爲 O(n*m) ，因爲 solution_1 沒有將整個大數組全部排序），而我們又知道排序算法可以優化到 O(nlogn) ，那們是否可以從這方面入手使用更快的排序算法如 MergeSor 、 QuickSort 呢？但這些算法都不具備從大至小選擇最大的 N 個數的功能，因此只有將 1 億個數按從大到小用 QuickSort 排序，然後提取最前面的 1 萬個。
template< class T, class I >
void solution_2( T BigArr[], T ResArr[] )
{
std::sort( BigArr, BigArr + BIG_ARR_SIZE, std::greater_equal() );
memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );
}
因爲 STL 裏的 sort 算法使用的是 QuickSort ，在這裏直接拿來用了，是因爲不想寫一個寫一個衆人皆知的 QuickSort 代碼來佔篇幅（而且 STL 的 sort 高度優化、速度快）。
對 solution_2 進行測試，運行時間是 32 秒，約爲 solution_1 的 1.5% 的時間，已經取得了幾何數量級的進展。
深入思考
壓抑住興奮回頭再仔細看看 solution_2 ，你將發現一個大問題，那就是在 solution_2 裏所有的元素都排序了！而事實上只需找出最大的 1 萬個即可，我們不是做了很多無用功嗎？應該怎麼樣來消除這些無用功？
如果你一時沒有頭緒，那就讓我慢慢引導你。首先，發掘一個事實：如果這個大數組本身已經按從大到小有序，那麼數組的前 1 萬個元素就是結果；然後，可以假設這個大數組已經從大到小有序，並將前 1 萬個元素放到結果數組；再次，事實上這結果數組裏放的未必是最大的一萬個，因此需要將前 1 萬個數字後續的元素跟結果數組的最小的元素比較，如果所有後續的元素都比結果數組的最小元素還小，那結果數組就是想要的結果，如果某一後續的元素比結果數組的最小元素大，那就用它替換結果數組裏最小的數字；最後，遍歷完大數組，得到的結果數組就是想要的結果了。
template< class T >
void solution_3( T BigArr[], T ResArr[] )
{
// 取最前面的一萬個
memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );
// 標記是否發生過交換
bool bExchanged = true;
// 遍歷後續的元素
for( int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i )
{
int idx;
// 如果上一輪發生過交換
if( bExchanged )
{
// 找出 ResArr 中最小的元素
int j;
for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j )
{
if( ResArr[idx] > ResArr[j] )
idx = j;
}
}
// 這個後續元素比 ResArr 中最小的元素大，則替換。
if( BigArr[i] > ResArr[idx] )
{
bExchanged = true;
ResArr[idx] = BigArr[i];
}
else
bExchanged = false;
}
}
上面的代碼使用了一個布爾變量 bExchanged 標記是否發生過交換，這是一個前文沒有談到的優化手段——用以標記元素交換的狀態，可以大大減少查找 ResArr 中最小元素的次數。也對 solution_3 進行測試一下，結果用時 2.0 秒左右（不使用 bExchanged 則高達 32 分鐘），遠小於 solution_2 的用時。
深思熟慮
在進入下一步優化之前，分析一下 solution_3 的成功之處。第一、 solution_3 的算法只遍歷大數組一次，即它是一個 O(n) 的算法，而 solution_1 是 O(n*m) 的算法， solution_2 是 O(nlogn) 的算法，可見它在本質上有着天然的優越性；第二、在 solution_3 中引入了 bExchanged 這一標誌變量，從測試數據可見引入 bExchanged 減少了約 99.99% 的時間，這是一個非常大的成功。
上面這段話絕非僅僅說明了 solution_3 的優點，更重要的是把 solution_3 的主要矛盾擺上了桌面——爲什麼一個 O(n) 的算法效率會跟 O(n*m) 的算法差不多（不使用 bExchanged ）？爲什麼使用了 bExchanged 能夠減少 99.99% 的時間？帶着這兩個問題再次審視 solution_3 的代碼，發現 bExchanged 的引入實際上減少了如下代碼段的執行次數：
for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j )
{
if( ResArr[idx] > ResArr[j] )
idx = j;
}
上面的代碼段即是查找 ResArr 中最小元素的算法，分析它可知這是一個 O(n) 的算法，到此時就水落石出了！原來雖然 solution_3 是一個 O(n) 的算法，但因爲內部使用的查找最小元素的算法也是 O(n) 的算法，所以就退化爲 O(n*m) 的算法了。難怪不使用 bExchanged 使用的時間跟 solution_1 差不多；這也從反面證明了 solution_3 被上面的這一代碼段導致性能退化。使用了 bExchanged 之後因爲減少了很多查找最小元素的代碼段執行，所以能夠節省 99.99% 的時間！
至此可知元兇就是查找最小元素的代碼段，但查找最小元素是必不可少的操作，在這個兩難的情況下該怎麼去優化呢？答案就是保持結果數組（即 ResArr ）有序，那樣的話最小的元素總是最後一個，從而省去查找最小元素的時間，解決上面的問題。但這也引入了一個新的問題：保持數組有序的插入算法的時間複雜度是 O(n) 的，雖然在這個問題裏插入的數次比例較小，但因爲基數太大（ 1 億），這一開銷仍然會令本方案得不償失。
難道就沒有辦法了嗎？記得小學解應用題時老師教導過我們如果解題沒有思路，那就多讀幾遍題目。再次審題，注意到題目並沒有要求找到的最大的 1 萬個數要有序（注 4 ），這意味着可以通過如下算法來解決：
1) 將 BigArr 的前 1 萬個元素複製到 ResArr 並用 QuickSort 使 ResArr 有序，並定義變量 MinElemIdx 保存最小元素的索引，並定義變量 ZoneBeginIdx 保存可能發生交換的區域的最小索引；
2) 遍歷 BigArr 其它的元素，如果某一元素比 ResArr 最小元素小，則將 ResArr 中 MinElemIdx 指向的元素替換，如果 ZoneBeginIdx == MinElemIdx 則擴展 ZoneBeginIdx ；
3) 重新在 ZoneBeginIdx 至 RES_ARR_SIZE 元素段中尋找最小元素，並用 MinElemIdx 保存其它索引；
4) 重複 2) 直至遍歷完所有 BigArr 的元素。
依上算法，寫代碼如下：
template< class T, class I >
void solution_4( T BigArr[], T ResArr[] )
{
// 取最前面的一萬個
memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );
// 排序
std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater_equal() );
// 最小元素索引
unsigned int MinElemIdx = RES_ARR_SIZE - 1;
// 可能產生交換的區域的最小索引
unsigned int ZoneBeginIdx = MinElemIdx;
// 遍歷後續的元素
for( unsigned int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i )
{
// 這個後續元素比 ResArr 中最小的元素大，則替換。
if( BigArr[i] > ResArr[MinElemIdx] )
{
ResArr[MinElemIdx] = BigArr[i];
if( MinElemIdx == ZoneBeginIdx )
--ZoneBeginIdx;
// 查找最小元素
unsigned int idx = ZoneBeginIdx;
unsigned int j = idx + 1;
for( ; j < RES_ARR_SIZE; ++j )
{
if( ResArr[idx] > ResArr[j] )
idx = j;
}
MinElemIdx = idx;
}
}
}
經過測試，同樣情況下 solution_4 用時約 1.8 秒，較 solution_3 效率略高，總算不負一番努力。
待續……
