光柵圖形學——直線段的掃描轉換算法

   數學上的直線是沒有寬度、由無數個點構成的集合，顯然，光柵顯示器只能近地似顯示直線。當我們對直線進行光柵化時，需要在顯示器有限個象素中，確定最佳逼近該直線的一組象素，並且按掃描線順序，對這些象素進行寫操作，這個過程稱爲用顯示器繪製直線或直線的掃描轉換。

 

一、數值微分（DDA）算法

1、算法原理

     根據直線方程y=kx+b，由兩個直線的端點(x0,y)(x1y1)可求得斜率k。可以將變量x設定初值爲x0，y初值y0。每次x步進1，同時使y步進k，可獲得表示直線的所有近似的結果集。

2、算法實現

//數值微分法 void DrawLine(CDC * pDC,int x0,int y0,int x1,int y1,COLORREF color) { int x; float y,k; k = (float)(y1-y0)/(x1-x0); y = (float)y0; for (x=x0;x<x1;x++) //每次x步進1 { y += k; //每次y增量爲k pDC->SetPixel(x, (int)(y+0.5), color); //每次對y的值四捨五入 } }

3、補充

     這個算法只適合|k|<=1的情況。在|k|>1時，必須交換x和y的位置，y每增加1，x增加1/k。

     在這個算法中，y和k必須用浮點數來表示，每一步都要對y進行四捨五入後取整，不利於機器實現

 

 

二、中點劃線法

1、算法原理

     在直線斜率在0~1直接的情況下，設當前像素點爲(x,y)，那麼它的下一個像素點就是p1(x+1,y)或者p2(x+1,y+1)，若稱p1和p2的中點M(px+1,y+0.5)，Q爲理想直線與x+1垂線的交點，當Q在M的下方時，p1即爲下一個像素點，否則p2即爲下一個像素點。

     下面討論中點畫線法的實現。過點(x0,y0)、(x1, y1)的直線段L的方程式爲F(x, y)=ax+by+c=0，其中，a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0，欲判斷中點M在Q點的上方還是下方，只要把M代入F（x，y），並判斷它的符號即可。爲此，我們構造判別式:

d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c

     當d<0時，M在L(Q點)下方，取P2爲下一個象素；

     當d>0時，M在L(Q點)上方，取P1爲下一個象素；

     當d=0時，選P1或P2均可，約定取P1爲下一個象素；

注意到d是xp, yp的線性函數，可採用增量計算，提高運算效率。

    若當前象素處於d³0情況，則取正右方象素P1(xp+1, yp),要判下一個象素位置，應計算 d1=F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a，增量爲a。

    若d<0時，則取右上方象素P2(xp+1, yp+1)。要判斷再下一象素，則要計算d2= F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b ，增量爲a＋b。畫線從(x0, y0)開始，d的初值 d0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a+0.5b，因  F(x0, y0)=0，所以d0=a+0.5b。

    由於我們使用的只是d的符號，而且d的增量都是整數，只是初始值包含小數。因此，我們可以用2d代替d來擺脫小數，寫出僅包含整數運算的算法程序。

2、算法實現

//中點劃線法 void DrawLine(CDC * pDC,int x0,int y0,int x1,int y1,COLORREF color) { int a,b,d1,d2,d,x,y; a = y0-y1; b = x1-x0; d = 2*a +b; //2d的初始值 d1 = 2*a; //由上文分析可得，當d<0，2d的增量爲2*a d2 = 2*(a+b); //當d>0時2d的增量 x = x0; y = y0; pDC->SetPixel(x,y,color); while (x<x1) { if (d<0) {x++;y++;d+=d2;} //當d<0時，逼近點應在d的上側 else {x++;d+=d1;} //當d>0時，逼近點在d下側 pDC->SetPixel(x,y,color); } }

 

 

 

三、Bresenham算法

1、算法原理

    過各行各列象素中心構造一組虛擬網格線。按直線從起點到終點的順序計算直線與各垂直網格線的交點，然後確定該列象素中與此交點最近的象素。該算法的巧妙之處在於採用增量計算，使得對於每一列，只要檢查一個誤差項的符號，就可以確定該列的所求象素。

    如圖所示，設直線方程爲yi+1=yi+k(xi+1-xi)+k。假設列座標象素已經確定爲xi，其行座標爲yi。那麼下一個象素的列座標爲xi＋1，而行座標要麼爲yi，要麼遞增1爲yi＋1。是否增1取決於誤差項d的值。誤差項d的初值d0＝0，x座標每增加1，d的值相應遞增直線的斜率值k，即d＝d＋k。一旦  d≥1，就把它減去1，這樣保證d在0、1之間。當d≥0.5時，直線與垂線x=xi＋1交點最接近於當前象素(xi，yi)的右上方象素(xi＋1，yi＋1)；而當d<0.5時，更接近於右方象素(xi＋1，yi)。爲方便計算，令e＝d－0.5，e的初值爲－0.5，增量爲k。當e≥0時，取當前象素(xi，yi)的右上方象素(xi＋1，yi＋1)；而當e<0時，取(xi，yi)右方象素(xi＋1，yi)。

2、算法實現

//Bresenham畫線算法 void DrawLine(CDC * pDC,int x0,int y0,int x1,int y1,COLORREF color) { int x,y; float k,e; k = (float)((y1-y0)/(x1-x0)); e = -0.5; x = x0; y = y0; for (int i=x0;i<x1;i++) { pDC->SetPixel(x,y,color); x += 1; e += k; if (e>=0) {y++;e-=1;} } }

     上述Bresenham算法在計算直線斜率與誤差項時用到小數與除法。可以改用整數以避免除法。由於算法中只用到誤差項的符號，因此可作如下替換：2*e*dx。那麼可以改進如下

//改進後的Bresenham畫線算法 void DrawLine(CDC * pDC,int x0,int y0,int x1,int y1,COLORREF color) { int dx = x1-x0, dy = y1 - y0; float e = (float)-dx; int x = x0, y = y0; for (int i=x0; i<x1; i++) { pDC->SetPixel(x,y,color); x++; e = e*2*dy; if (e>=0) { y++;e=e-2*dx; } } }