hdu - 4335 - What is N? - 數論

數論啊。http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4335

給定bpm，求有幾個n滿足條件。

證明見http://hi.baidu.com/aekdycoin/item/e493adc9a7c0870bad092fd9

題目給定b,p,M 問 0 <= n <= M 中有多少個數滿足 n^(n!) ≡ b (MOD p)，並且可惡的是這裏沒有提到任何數的特殊性質，給定都只是限定在正整數且p>0。

有歐拉定理我們知道 n^(phi(p)) ≡ 1 (mod p) 但是這裏要求gcd(n, p) = 1,顯然題目並沒有這麼要的數據，那麼如果題目給定是滿足n,p互質的話，那麼我們就可以知道
n^(x) mod p 是有循環節的，這個循環節就是n^(phi(p))，如果n,p不互質的話，那麼我們可以證明這個循環節 T | phi(p)，所以我們還是可以選擇phi(p)來作爲循環節，於是
下面我們就可以分四部分來進行計算了。

part_1:首先計算n! < phi(p) 頂多8個點，for循環直接暴力

part_2:如果還剩餘有區間的話，在計算 phi(p) <= n! < s!, s=min{x|x! mod phi(p)=0} // 此時的n!次方已經存在一個循環節，但是n還是變化的

part_3:接下來的區間就是n! % phi(p) = 0, 這說明其已經完全依賴於phi(p)的值了，所以只要考慮到n的循環性質了，直接統計n的一個循環節裏面出現次數就可以了

part_4:把餘下的n進行統計即可

#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define MAXN 100000
using namespace std;

typedef unsigned long long int Int64;

int p[MAXN+5], pm[10000], phi[MAXN+5], idx = -1, MOD, B;

int Fac[MAXN+5];

Int64 M, ans;

void GetPrime()
{
    for (int i = 2; i <= MAXN; ++i) {
        if (!p[i]) {
            pm[++idx] = i;                
        }
        for (int j = 0; pm[j]*i <= MAXN; ++j) {
            p[pm[j]*i] = 1;
            if (i % pm[j] == 0) {
                break;    
            }
        }
    }
/*    printf("%d\n", idx);
    for (int i = 0; i <= 100; ++i) {
        printf("%d ", pm[i]);
    }*/
}

void Eular()
{
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= MAXN; ++i) {
    //    printf("phi[%d] = %d\n", i-1, phi[i-1]);
    //    getchar();
        if (!p[i]) {
            phi[i] = i - 1;    
            continue;
        }
        for (int j = 0; pm[j]*pm[j] <= i; ++j) {
            if (i % pm[j] == 0) {
                if (i / pm[j] % pm[j] == 0) {
                    phi[i] = pm[j] * phi[i/pm[j]];
                }
                else {
                    phi[i] = phi[pm[j]] * phi[i/pm[j]];
                }
                break;
            }
        }
        
    }
}

bool _pow(Int64 a, Int64 b)
{
    Int64 ret = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ret *= a;
            ret %= MOD;
        }
        a *= a;
        a %= MOD;
        b >>= 1;
    }
    return ret == B;
}

void deal()
{
    int LIM = -1, ptr;
    for (ptr = 0; ptr <= M; ++ptr) {
        // 第一段，小於phi[MOD]的一部分 
        if (!ptr) { Fac[ptr] = 1; }
        else { Fac[ptr] = Fac[ptr-1] * ptr; }
        if (Fac[ptr] >= phi[MOD]) {
            break;
        }
        if (_pow(ptr, Fac[ptr])) {
            ++ans;
        }
    }
    if (ptr > M) { return; } // 如果已經超過了M的話 
    for (int i = ptr; i <= M; ++i) {
        if (!i) { Fac[i] = 1 % phi[MOD]; }
        else { Fac[i] = (Fac[i-1] * i) % phi[MOD]; }
        if (Fac[i] == 0) {  // 如果找到了這個點 
            LIM = i;
            break;
        }
        if (_pow(i, Fac[i]+phi[MOD])) {
            ++ans;
        }
    }
    if (LIM == -1) { return; } // 如果沒有找到一個是phi[MOD]倍數的點 
    int t = 0;
    if ((M - LIM+1) >= MOD) { // LIM 這個點是沒有計算的，所以長度爲M-LIM+1，這裏判定剩餘是否大於MOD 
        for (int i = LIM; i < LIM+MOD; ++i) {
            if (_pow(i%MOD, phi[MOD])) { // 由於此時已經是phi[MOD]的倍數，所以直接把phi[MOD]這個指數代入
                ++t;
            }
        }
        ans += (M - LIM+1) / (1LLU*MOD) * t;
    }
    int left = (M-LIM+1) % MOD; // 殘餘的餘數 
    for (int i = LIM; i < LIM+left; ++i) {
        if (_pow(i%MOD, phi[MOD])) {
            ++ans;
        }
    }
}

int main()
{
    GetPrime();
    Eular();
    int T, ca = 0;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        ans = 0;
        scanf("%d %d %I64u", &B, &MOD, &M);
        if(M == 18446744073709551615LLU && MOD == 1 && B == 0) {
            // 由於b=0,p=1,所以可以直接得到M+1，由於溢出原因所以需要特判 
            printf("Case #%d: 18446744073709551616\n", ++ca);
        }
        else 
        {    
            deal(); 
            printf("Case #%d: %I64u\n", ++ca, ans);
        }
    }
    return 0;
}