HDU_4126 Genghis Khan the Conqueror 最小生成樹

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4126

題意：

一個N個點的無向圖，先生成一棵最小生成樹，然後給你Q次詢問，每次詢問都是a,b,c的形式， 表示的意思是在原圖中將a,b之間的邊增大到c時，此時最小生成數的值是多少。最後求Q次詢問最小生成樹的平均值。 N<=3000 , Q<=10000

思路：

對於每次詢問， 都是將a，b之間的邊增加到c，如果邊權增加的那條邊原先就不在最小生成樹中，那麼這時候的最小生成樹的值不變，如果在原最小生成樹中，那麼這時候將增加的邊從原最小生成樹中去掉，這時候生成樹就被分成了兩個各自聯通的部分，可以證明的是，這時候的最小生成樹一定是將這兩部分聯通起來的最小的那條邊。下面問題就變成了這樣，首先我們先求出最小生成樹，然後將在最小生成樹中邊去掉，對於每條最小生成樹中的邊，我們要求出它的替代邊， 並且要求該替代邊最小。樸素的算法是O(n ^ 3)的，這個算法肯定會超時，需要優化。對於枚舉每條生成樹邊複雜度爲：O(n)這是不可能優化的，能優化的就是找兩部分的最優替換邊的O(n^2)複雜度，我們可以用預處理的方法，用f[i][j]表示整棵樹以i爲根，子樹j到它的最小值的，這個過程可以在一邊dfs就可以出來，複雜度是O(n) ， 接下來對於一條樹邊，我們只要再來一遍dfs求出該樹的一邊的點到另外一邊的距離的最小值就可以得出最佳的替換邊的長度了。總的複雜度爲：O(n^2 + Q)

代碼：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;
int N, M , Q;
const int inf = (1 << 30)  ;
const int NN = 3010 ;
int f[NN][NN]  , org[NN][NN] ;
int head[NN] ;
int pnt[NN<<1] ,vv[NN<<1] , cnt;
int tot ;
int d[NN] , vis[NN] , from[NN] ;
map< pair<int, int> , int > mp ;

void add(int u , int v){
    pnt[cnt] = head[u] ;
    vv[cnt] = v ;
    head[u] = cnt ++ ;
}

void cal_mst(){
    memset( head , -1 , sizeof(head) )  ; cnt = 0 ;
    for(int i=0;i<N;i++){
        d[i] = f[0][i]  ; vis[i] = 0 ; from[i] = 0 ;
    }
    d[0] = 0 ; vis[0] = 1 ;
    for(int i=1;i<N;i++){
        int _min = inf , min_n ;
        for(int j=0;j<N;j++){
            if( vis[j] )    continue ;
            if( _min > d[j] ){
                _min = d[j] ; min_n = j ;
            }
        }
        vis[ min_n ] = 1 ;
        for(int j=0;j<N;j++){
            if( vis[j] )    continue ;
            if( d[j] > f[min_n][j] ){
                d[j] = f[min_n][j] ;
                from[j] = min_n ;
            }
        }
        int u = min_n , v = from[u] , w = f[u][v];
        tot += w ;
        add(u ,v) ; add(v , u) ;
        f[u][v] = f[v][u] = inf ;
    }
}

int dfs1(int x,  int fa,  int rt){
    for(int i=head[x] ; i!=-1 ; i=pnt[i] ){
        int y = vv[i] ;
        if( y == fa )   continue ;
        f[rt][x] = std::min( f[rt][x] , dfs1(y ,x  ,rt ) )  ;
    }
    return f[rt][x] ;
}

int dfs2(int x, int fa ,int rt ){
    int res = f[x][rt] ;
    for(int i=head[x] ; i!=-1 ; i=pnt[i] ){
        int v = vv[i] ;
        if( v == fa )   continue ;
        res = std::min( res , dfs2(v , x  ,rt) ) ;
    }
    return res ;
}

const double eps = 1e-10 ;
void solve(){
    scanf("%d",&Q);
//    printf("%d\n",tot)  ;
    int a, b, c ,res;
    int ans = tot , sum = 0 ;
    for( int i=0;i<Q;i++){
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        if( mp.count( make_pair(a,b) ) ){
//            printf("%d %d\n",org[a][b] , mp[ make_pair(a,b) ] );
            res = std::min( ans - org[a][b] + c , ans - org[a][b] + mp[ make_pair(a,b) ] );
        }
        else    res = ans ;
//        printf("%d\n",res);
        sum += res ;
    }
    printf("%.4lf\n",(double)sum/Q + eps ) ;
}

int main(){
    int a,b,c ;
    while( scanf("%d %d",&N,&M) && (N+M) ){
        for(int i=0;i<N;i++)    for(int j=0;j<N;j++)    org[i][j] = f[i][j] = inf ;
        for(int j=0;j<M;j++){
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            org[a][b] = org[b][a] = f[a][b] = f[b][a] = c ;
        }
        tot = 0 ; cnt = 0 ;
        cal_mst() ;
        for(int i=0;i<N;i++)    dfs1(i , -1,  i) ;
        mp.clear() ;
        for(int i=0;i<N;i++){
//            printf("ROOT:%d\n",i);
            for(int j=head[i] ; j!=-1 ; j=pnt[j] ){
                int u = i  ;
                int v = vv[j] ;
                int w = dfs2(v , u , u) ;
                mp[ make_pair(u,v) ] = w ;
//                printf("%d %d   ",v , w );
            }
//            printf("\n");
        }
        solve() ;
    }
    return 0 ;
}